【自动驾驶】卡尔曼滤波直观理解、数学公式及代码理解

直观理解

你住在深圳，你的好朋友小明住在乌鲁木齐。有一天，小明打算来找你玩，你想预订一家五星级餐馆，在他到深圳的当天晚上和他一起吃晚饭。但是小明是一名户外运动爱好者，他偏偏选择走路来深圳，你打开地图发现卧槽，这走路得走好几十天。

然而五星级餐厅如果不提前几天预定好话，当天是没有位置的。所以你问小明，哪一天才能到？然而他却没有正面回复，而是告诉你他从乌鲁木齐市中心出发以及他的速度。

乌鲁木齐到深圳全程约4275.3公里，这样的话四天多就能到了！但是根据你对小明体能的了解，你觉得这个估算不太靠谱。而且他路上还会经过雪岭、草岭、荒漠、戈壁各种地形，还有各种天气的原因，他很难保证每天100公里的前进速度。

于是你想了个办法，你先假设小明速度每天100km，然后每天晚上让他发个定位，告诉你他的位置在哪，然后你可以根据他的定位更新他的数学模型，预测之后的位置。

但是有个新的问题，就是他的GPS定位不是很准，可能是有十几公里的偏差，因此你也不能完全相信他的定位。

最后你决定两手抓，既相信自己的建立的数学模型，同时也参考GPS的定位，综合两者的结论来预测小明的位置。

例如，出发后第1天，根据你的数学模型，小明此时应该已经到了达坂城古镇，然而根据他发来的GPS定位显示还没走出市区，今天只走了10km。显然，你认为今天GPS的可信度高于自己的数学模型。

因此你综合“自己的数学模型”和“GPS信息”，得到一个新的数学模型——你认为小明目前的真正位置应该在距离市中心15km的地方，他的速度为每天12km，因此他第二天的位置在距离市中心27km的地方（这些数字是随便取得，大家看一看数字的变化就好）

之后的第三天、第四天、第N天你都采用上面的方法，随着你不断修正自己的数学模型，你的预测也会越来越准确，上面就是卡尔曼滤波的思想。

 

数学公式

接下来我们认真看一下卡尔曼滤波的公式，分为Station prediction（状态估计）与Measurement update（测量更新）两部分：

 

Station prediction

（1）公式一

在状态估计阶段，我们要估计物体的状态有位置$p_x$和速度$v_x$，因此状态$x$可由向量的形式表示为：

若第N-1时刻的状态用$x$表示（即估计前），第N时刻的状态用$x^{\prime }$表示（即估计后），则$x^{\prime }$可写作：

其中，$F$为状态转移矩阵，即表示第N时刻状态与第N-1时刻状态的关系：

这个很好理解，用高中物理知识就能明白，矩阵$F$与$x$相称后含义即为：

1. 第N时刻的位置（即$x^{\prime }$中的$p_x$）= 第N-1时刻的位置（即$x$中的$p_x$）+ 第N-1时刻的速度（即$x$中的$v_x$）*时间间隔（即$F$中的$\Delta t$）；
2. 第N时刻的速度（即$x^{\prime }$中的$v_x$）= 第N-1时刻的速度（即$x$中的$v_x$）（这里认为物体时匀速的）。

$B$输入增益矩阵，$u$表示输入向量，$B\ast u$表示有外部力量对物体施加力的作用。

同时，由于物体运动过程中存在噪声，我们认为该过程噪声为一个均值为0，协方差矩阵为Q的正态分布。

所以最终得到第一个公式：

 

（2）公式二

$P$表示协方差矩阵，即表示状态的不确定性，$F$为上面中提到的状态转移矩阵，$Q$表示状态转移中的噪声(也就是上面的$v$中的$Q$)。

协方差矩阵就是由协方差组成的矩阵。协方差类似于方差，只不过方差是只针对一个变量而言，协方差是一个升级版方差，可以用于多个变量，并且还可以得知不同变量之间的相关性。
由于在这里我们有两个变量（即位置和速度），因此$P$是一个2*2的矩阵，即：

1. $cov(p,p)$ 表示对于位置的方差，也可以理解为不确定性，因为若方差越小，则位置的确定性越大；
2. $cov(p,p)$ 表示对于位置与速度的协方差；
3. $cov(p,p)$ 表示对于速度与位置的协方差，实际与$cov(p,p)$ 的值是一样的，$P$是一个对角阵；
4. $cov(v,v)$ 表示对于位置的方差。

通过P可以反映出我们模型的对于估计的确定性程度。

若不考虑$Q$，则表示“通过第N-1时刻的$P$求得传递之后第N时刻的$P$”，但是由于模型在传递过程中也是会存在噪声的，也就是相当于被估计物体移动这个动作本身就具有不确定性（即加速、减速或改变方向），因此考虑加入状态转移噪声$Q$。代表了每一次运动后，不确定性都会增加。
 

（3）$Q$与$v$的关系

前面提到，$Q$与$v$满足下列关系，那么这到底是什么意思呢，为什么二者有关联，这个问题一开始也困扰了我很久，下面说说我的看法。

首先，我们先确定两者的维度，由矩阵加减法可知，矩阵$Q$必然是2*2的，$v$是一个二维的列向量。
我一开始疑惑，为什么2*2的$Q$最后会变成一个二维的列向量？ Q不是与协方差矩阵有关吗？那么Q里面的四个元素就应该分别为下面四个（即与$P$应该是一一对应的）：

1. 位置的方差的误差；
2. 位置与速度的协方差的误差；
3. 速度与位置的协方差的误差；
4. 位置的方差的误差。

而$v$若要和状态$x$相加，则$v$内两个元素必然一个代表位置，一个代表速度，那不就丢失了2. 位置与速度的协方差的误差和3. 速度与位置的协方差的误差吗？

造成这种困惑的原因是，没有理解分布的含义，$v\sim N(0，Q)$表示的是数据$v$的分布是一个协方差为Q的正太分布，关键词是分布，也就是说$v$是从这一堆特定分布中随机取出的一个数据。

我们生成一组（1000个）二维的，均值为0，协方差为[1 1.5; 1.5 3]，满足正态分布的数据，以下为matlab代码：

mu = [0 0];
Q = [1 1.5; 1.5 3];
rng('default')  % For reproducibility
V = mvnrnd(mu,Q,1000);
plot(V(:,1),V(:,2),'+')

绘制散点图观察分布，确实是我们想要的正态分布。
再去看生成的每个样本（即每一行），其实他们都是二维的。有1000个样本，每个样本维度是2，因此是1000*2。

在代码中，$Q$维度是2*2，$v$的两个维度对应位置和速度，事实证明：$v\sim N(0，Q)$这个关系是没有问题的，他们各自的维度也是没毛病的！

上面的代码中，我刻意使用了大写的$V$，而不是小写，因为$v$代表的是单个样本（即单独一行）。在实际状态估计的时候，$x^{\prime }=Fx+Bu+v$中的$v$，就是指从$V$中随机抽取的一个样本。

你发现了没有，这就是分布的神奇所在！因为这是一个二维的分布，所以得到的数据$v$必然是二维的！分布只与样本的位置有关，但是当$v$的数量足够多的时候，宏观的去看这一组数据的时候，就可以呈现出我们想要满足一定均值、协方差条件的分布。

举一个例子，$Q$代表一个班级，$v$代表班级里的某一个人，老师要从班级里面随机选一个人出去参加跑步（只能选一个），老师只能看到两个维度：身高、体重。
她选了一个平均身高为175，平均体重为60kg，身高方差为15，体重方差为20，身体与体重协方差为10（即身高越高体重也越大）的班级。
最后随机选出了一个人，这个人身高180，体重70，这个人就是实实在在的$v$。

最后说一下$Q$与$v$的关系：

1. $Q$表示过程噪声，这些噪声会影响的是位置、速度、位置与速度的相关性，是从数据的整体分布的角度去影响；
2. $v$是指满足上述分布的具体某一个噪声，这个噪声是切切实实的影响位置与速度，是直接加到我们的状态上的；
3. $Q$与$v$是指同一种噪声，即过程噪声，但是$Q$是是从宏观的角度体现出噪声分布的特点，$v$则是具体某一个过程噪声。
    

Measurement update

（1）公式一

$z$为第N-1时刻的测量值（因为只能观测到速度，因此其含义为速度值）。$H$表示测量矩阵，因为我们的$x^{\prime }$是状态，里面既有位置信息也有速度信息，而我们能够观测到的只有位置信息，因此需要乘个$H$除去速度信息。

具体怎么除去呢，其实很简单，只要令$H=[1,0]$即可，因为速度对应的权重为0，所以$H$与$x^{\prime }$相乘之后就只剩下位置信息了。

当乘以$H$后，$z$与$H{x}^{\prime }$维度就相同了，$z$为测量得到的实际位置信息（你可以认为是一种反馈），$H{x}^{\prime }$为模型估计值（你可以当作一种理论值），因此两者相减便可得到测量的误差值$y$，然后用这个误差$y$去修正我们的模型，以便让我们的模型在下一次预测中更加的准确。
 

（2）公式二、三

$R$代表测量误差（即传感器本身的误差），$K$为传说中的卡尔曼增益，$S$为一个计算卡尔曼增益的中间值，一般时候也可以把下面两行直接写成一行把$S$省略掉。

具体卡尔曼增益的推导请看最后面的P.S.，这里说下卡尔曼增益$K$的含义。$K$实际是在权衡模型与实际测量到底哪一个更准确。

$H$是常数我们不妨假设$H$为1，这样可以将$K$简化为：
$$K=\frac{P^{\prime }{H}^T}{H{P}^{\prime }{H}^T+R}=\frac{P^{\prime }}{P^{\prime }+R}=\frac{1}{1+\frac{R}{P^{\prime }}}$$

模型的不确定性对应$P^{\prime }$，测量的不确定性对应$R$。

1. 若$R>P^{\prime }$，则说明测量的不确定性更大，此时K较小，更新时偏向于相信模型；
2. 若$R<P^{\prime }$，则说明模型的不确定性更大，因此K较大，更新时偏向于相信实际测量。
    

（3）公式四、五

在计算得到卡尔曼增益$K$后，便对之前的模型进行修正更新，下面这两个公式都与$K$有关我们同时看。

前面说到，若$K$变小，则偏向于相信模型，在此也可以得到验证，不妨假设一种极端情况，$K$=0，也就是$R$比$P^{\prime }$大很多很多（说明测量的数据相比于模型更不靠谱），那么根据上面的两个公式，此时：
$$x=x^{\prime },P=P^{\prime }$$

也就是说对测量的数据完全不理会了，对模型的更新不造成影响，我只相信我原本的模型，完全不相信测量所得的反馈数据。

当$K$慢慢变大的时候，与测量相关的数据（误差$y$与测量误差$H$）对于状态$x$与$P$的更新影响也越大。

P.S.
关于预测方程的具体推导，可以看卡尔曼滤波器推导与解析 - 案例与图片，非常详细！
最核心的地方在于：根据高斯函数的性质，得到“两个旧高斯分布推出一个新高斯分布”的公式，然后把“模型”和“传感器”分别当作就高斯分布，然后套公式，就可以得到新高斯分布“更新后的模型”：
即把：

代入到下面的公式中：

然后把H消掉就是预测过程的公式了（以上来张图片来自卡尔曼滤波器推导与解析 - 案例与图片）

 

（4）卡尔曼滤波的思路

下面将所有公式串起来，说一下整体思路：

1. 首先我们会有一个被预测物体的数学模型，我们用这个模型去预测物体未来的运动轨迹。
2. 然而这个数学模型是不完美的（运动中存在噪声模型本身也具有不确定性），因此我们会通过传感器去采集物体实际的运动数据，与我们的预测值比较，利用误差来修正我们模型。
3. 但是我们又并不完全相信传感器的数据，因为我们传感器也有误差。所以我们会比较“传感器的误差”和“模型的误差”看谁比较小。 在更新模型的时候，误差比较小的一方占的比比重会更大。
4. 起初数学模型会非常地不准确，通过不断地循环步骤1~3，不断地迭代“更新-预测”，就可以逐步得到一个准确地模型

举一个形象的例子：
有一个科学家提出一个“理论”，但是他知道这个“理论”不一定是完全正确的，有不完美的地方，因此他不断地做实验，每天都去根据“实验结果”更新他原有的理论。
当“实验结果”出现于“理论”冲突时，他会先思考实验出错的概率和理论出错的概率。

1. 如果“实验结果”只是偶尔与“理论”冲突，那他可能认为这更有可能实验误差造成的，因为在他第二天新的“理论”中，会大部分保留前一天的“理论”内容，“实验结果”只占他新理论中的一小部分；
2. 如果“实验结果”总是与“理论”冲突，他就会认为是这个不够“理论”完善，在更新“理论”时，他会加入更多在“实验结果”中的发现，甚至推翻其原有的“理论”。

这个过程很类似自动控制原理的思想，都是利用误差反馈，只不过自动控制原理中侧重于控制，被控对象的数学模型是固定的（即一开始数学模型就是非常准确的），而在卡尔曼滤波中侧重于预测，被控对象的数学模型是一直不断地被修正（即最初的数学模型不一定是准确地）。
 

代码理解

看公式可能还是有点抽象，接下来我们用代码来实现一个卡尔曼滤波器级加强我们的理解，以下为matlab代码（如果没有matlab的话，用octave也是可以运行的）：

（1）Station prediction

1. 由于$x^{\prime }=F\ast x+B\ast u+v$预测的是平均状态，而过程噪声$v$本身均值就为0，因此在代码中不需要加上$v$。

% 状态估计
function [x, P] = prediction(x, F, B, u, P, Q)
    x = F * x + B*u;
    P = F * P * F'+Q;
end

（2）Measurement update

% 测量更新函数
function [x, P] = update(x, z, H, P, R, I)
    y = z - H * x;
    S = H * P *H' + R;
    K = P * H' * inv(S);
    x = x + K * y;
    P = (I - K*H)*P;
end

（3）设置初始值

1. $x$是任意取的，可以是准确的也可以是不准确的，后面的讨论会提到；
2. $P$也是任意取得，在此我们认为位置与速度正相关，并且位置和速度有极大的不确定性，因此选取$P=[1000,100;100,1000]$；
3. $Q$的选取就很复杂了，实际应用中是通过实验得到的，在此我们随便取一个值；
4. 由于我们假设不存在外部动作，因此$u=[0;0]$，$B$也是随便取的，真正考虑外力的时候要根据外力作用的物理原理去设置对应的$B$和$u$；
5. 测量噪声$R$由你的传感器决定，这里随便取了一个值。

% 设置初始位置和速度
x = [0; 0];
% 设置不确定性矩阵初始值，以下设置即认为：
% 位置与速度不相关，并且位置和速度有极大的不确定性
P = [1000, 100; 100 1000];
% 设置过程噪声
Q = [1, 0.5; 2, 3];

% 指定外部动作
B = [1 0; 0 1];
u = [0; 0];

% 构建状态函数
F = [1, 1; 0 1];
% 构建测量函数，表示仅可观测位置而不是速度
H = [1, 0];
% 观测不确定性矩阵
R = 1;
I = [1, 0; 0 1];

（4）设想物体的实际运动过程并设置观测值

1. 我们不妨假设物体实际运动之后11个时刻的位置分别为2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22；
2. 由于测量也是不准确的，所以我们根据条件1做出一些假设，假设之后10个时刻测量值是[2.3, 3.8, 6.2, 7.5, 9.6, 11, 13.5, 17, 18.5, 20.4]；
3. 在第11个时刻的位置是22，我们并没有放到测量结果中，因为我们要用这个值去判断当更新了10次之后，模型是否能够预测出物体下一时刻出现在22，以此来判断卡尔曼滤波是否对模型的准确性进行有效的更新。

% 实际所得的位置测量值
measurements  = [2.3, 3.8, 6.2, 7.5, 9.6, 11, 13.5, 17, 18.5, 20.4];

（5）迭代过程

for i = 1:1:length(measurements)
    fprintf('**********第%d论迭代开始**********\n',i)
    % 首先测量更新
    [x, P] = update(x, measurements(i), H, P, R, I);
    fprintf('*****开始第%d次更新*****',i)
    x
    P
    % 然后状态估计
    [x, P] = prediction(x, F, B, u, P, Q);
    fprintf('\n')
    fprintf('*****开始第%d次预测*****',i)
    x
    P
    fprintf('\n')
end

（6）完整代码及运行结果

clc;clear;

% 设置初始位置和速度
x = [0; 0];
% 设置不确定性矩阵初始值，以下设置即认为：
% 位置与速度不相关，并且位置和速度有极大的不确定性
P = [1000, 100; 100, 1000];
% 设置过程噪声
Q = [1, 0.5; 2, 3];

% 指定外部动作
B = [1 0; 0 1];
u = [0; 0];

% 构建状态函数
F = [1, 1; 0 1];
% 构建测量函数，表示仅可观测位置而不是速度
H = [1, 0];
% 观测不确定性矩阵
R = 1;
I = [1, 0; 0 1];

% 实际所得的位置测量值
measurements  = [2.3, 3.8, 6.2, 7.5, 9.6, 11, 13.5, 17, 18.5, 20.4];

for i = 1:1:length(measurements)
    fprintf('**********第%d论迭代开始**********\n',i)
    % 首先测量更新
    [x, P] = update(x, measurements(i), H, P, R, I);
    fprintf('*****开始第%d次更新*****',i)
    x
    P
    % 然后状态估计
    [x, P] = prediction(x, F, B, u, P, Q);
    fprintf('\n')
    fprintf('*****开始第%d次预测*****',i)
    x
    P
    fprintf('\n')
end

% 状态估计
function [x, P] = prediction(x, F, B, u, P, Q)
    x = F * x + B*u;
    P = F * P * F'+Q;
end

% 测量更新函数
function [x, P] = update(x, z, H, P, R, I)
    y = z - H * x;
    S = H * P *H' + R;
    K = P * H' * inv(S);
    x = x + K * y;
    P = (I - K*H)*P;
end

最新一次对位置的预测为22.1900，非常接近我们的理想值22，说明模型经过修正后越来越准确了。

（7）讨论

1. 如果测量次数足够多的话，初始状态$x$不准确也没有关系，例如取$x=[-10;100]$，最后预测位置结果为22.1899，差别不大。同样，初始$P$设置很大也没关系，因为在初始阶段我们确实认为自己的模型具有很大的不确定性。（当然$P$初始设置很小也可以，因为$P$是在不断更新的）

2. 每次更新后，$P$值变小，说明对于位置和速度的不确定性降低。每次预测后，因为存在过程噪声，$P$值又会变大，因为物体移动导致位置和速度的不确定性增加了。

3. 每次更新后，$x$值经过修正后，会向实际的测量值贴合，可以看出测量的结果确实是在慢慢地修正模型。

4. 你可以不更新，选连续预测再后一次的位置，预测位置结果为23.9263，与我们预想的结果24很接近