三种常用正交坐标系下的梯度、散度与旋度

1、空间直角坐标系

空间直角坐标系中，使用坐标$(x,y,z)$来确定位置，对应的单位矢量分别为 $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$。设$\mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z)$为矢量场，$f$ 为标量场。则

• 梯度
  $$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$

标量求梯度后是一个矢量。

• 散度
  $$\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$$

矢量求散度后是一个标量。

• 旋度
  $$\nabla \times \mathbf{F}=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})\mathbf{i}+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})\mathbf{j}+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})\mathbf{k}$$

• 拉普拉斯算符
  $${\nabla }^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$$

2、柱坐标系

柱坐标系是用平面极坐标系再加上$z$方向来确定位置，柱坐标系下的三个坐标变量分别为$\rho$，$\phi$，$z$，它们与空间直角坐标系的关系为
$$\begin{gathered} x=\rho \cos \phi \\ y=\rho \sin \phi \\ z=z \end{gathered}$$

三个单位矢量分别为
$e_{\rho }$ ：沿着径向由$O$点向外
$e_{\phi }$：在$xy$平面内，沿着逆时针方向且垂直于$e_r$
$e_z$：沿着$z$方向，与平面直角坐标系下的$\mathbf{k}$一致

• 梯度
  $$\nabla f=e_{\rho }\frac{\partial f}{\partial \rho }+e_{\phi }\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \phi }+e_z\frac{\partial f}{\partial z}$$

• 散度
  $$\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho F_{\rho })+\frac{1}{\rho }\frac{\partial F_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial F_z}{\partial z}$$

• 旋度
  $$\nabla \times \mathbf{F}=\frac{1}{\rho }\left|\begin{array}{ccc}{e}_{\rho }& e_{\phi }& e_z\\ \frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \phi }& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_{\rho }& \rho F_{\phi }& F_z\end{array}\right|=\frac{1}{\rho }\{[\frac{\partial F_z}{\partial \phi }-\frac{\partial }{\partial \phi }(\rho F_{\phi })]e_{\rho }+(\frac{\partial F_{\rho }}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial \rho })e_{\phi }+[\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho F_{\phi })-\frac{\partial F_{\rho }}{\partial \phi }]e_z\}$$

• 拉普拉斯算符
  $${\nabla }^{2}f=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho })+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$$

3、球坐标系

球坐标系是一种利用球坐标$(r,\theta ,\phi )$表示一个点 $p$ 在三维空间的位置的三维正交坐标系。原点到 $p$ 点的距离 $r$，原点到点 $p$ 的连线与正 $z$轴之间的天顶角$\theta$，以及原点到点$p$的连线在 $xy$平面的投影线，与正 $x$轴之间的方位角$\phi$。

球坐标系下三个正交单位矢量为
$\hat{\mathbf{r}}$：由原点指向$p$
$\hat{\mathbf{\phi }}$：沿逆时针方向，平行于$xy$平面，并与 $\hat{\mathbf{r}}$ 垂直
$\hat{\mathbf{\theta }}$：$\hat{\mathbf{\phi }}\times \hat{\mathbf{r}}$的方向

球坐标系与空间直角坐标系的转换关系为
$$\begin{gathered} x=r\sin \theta \cos \phi \\ y=r\sin \theta \sin \phi \\ z=r\cos \theta \end{gathered}$$

• 梯度
  $$\nabla f=\hat{\mathbf{r}}\frac{\partial f}{\partial r}+\hat{\mathbf{\theta }}\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }+\hat{\mathbf{\phi }}\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \phi }$$

• 散度
  $$\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2{F}_r)+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(F_{\theta }\sin \theta )+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial F_{\phi }}{\partial \phi }$$

• 旋度
  $$\nabla \times \mathbf{F}=\frac{1}{r\sin \theta }\left|\begin{array}{ccc}\hat{\mathbf{r}}& r\hat{\mathbf{\theta }}& r\sin \theta \hat{\mathbf{\phi }}\\ \frac{\partial }{\partial r}& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial \phi }\\ F_r& r{F}_{\theta }& r\sin \theta F_{\phi }\end{array}\right|$$

注：图片来源于百度百科。