0603模拟赛 解码 排列 安排
A 解码
题囬
题解
有 x c ≡ m ( m o d n ) x^c\equiv m\ (mod\ n) xc≡m (mod n)，且 c c c与 ( p − 1 ) ⋅ ( q − 1 ) (p-1)\cdot (q-1) (p−1)⋅(q−1)互质。
发现 φ ( n ) = ( p − 1 ) ⋅ ( q − 1 ) \varphi(n)=(p-1)\cdot(q-1) φ(n)=(p−1)⋅(q−1)，又 x φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) x^{\varphi(n)}\equiv1\ (mod\ n) xφ(n)≡1 (mod n)。
那么一定存在一个 t t t使得 c ⋅ t ≡ 1 ( m o d φ ( n ) ) c\cdot t\equiv1\ (mod\ \varphi(n)) c⋅t≡1 (mod φ(n))，这个 t t t可以通过 e x g c d exgcd exgcd求出。
那么 x c ⋅ t ≡ x 1 ≡ m t ( m o d n ) x^{c\cdot t}\equiv x^1\equiv m^t\ (mod\ n) xc⋅t≡x1≡mt (mod n)。所以直接快速幂就求出了答案。
问题是我们不知道 p , q p,q p,q。如果直接 p o l l a r d r h o pollard\ rho pollard rho只有30分。
所以我考试时就只拿了30分。
发现还有一个条件没有用到 q − p ≤ 3 e 5 q-p\le 3e5 q−p≤3e5。我们假设 q = p + d q=p+d q=p+d， d d d为正整数且小于 3 e 5 3e5 3e5。
列出一个方程 p ( p + d ) = n p(p+d)=n p(p+d)=n
解得 p = d 2 + 4 n − d 2 p=\frac{\sqrt{d^2+4n}-d}2 p=2d2+4n−d
在前三个子任务中有 p , q p,q p,q之间无其他质数，所以 d d d很小，直接枚举。
最后一个子任务没有这个限制，但是发现 p ≥ 2 e 9 p\ge2e9 p≥2e9，也就是 n ≥ 4 e 18 n\ge 4e18 n≥4e18。
我们设 k = d 2 + 4 n k=\sqrt{d^2+4n} k=d2+4n，所以 k 2 = d 2 + 4 n k^2=d^2+4n k2=d2+4n。如果要枚举 k k k，下界就是 2 n 2\sqrt{n} 2n。这样的话我们发现 k k k没增加 1 1 1， k 2 k^2 k2会增加 1 e 9 1e9 1e9级别的值。又 d ≤ 3 e 5 , d 2 ≤ 9 e 10 d\le 3e5,d^2\le9e10 d≤3e5,d2≤9e10，那么 k k k也只会枚举十几次。
那么我们就做完了。
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#include 这里没有太考虑longlong乘起来炸了的情况（能过就行），否则可以把分母的2放进根号里什么的来减小数字运算的大小。
B 排列
题囬
题解
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#include C 安排
题囬
题解
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咕咕咕