排队论中的常见分布：泊松分布、指数分布与爱尔朗分布

1.概率函数

①泊松分布：

λ表示单位时间（面积或体积等）该事件平均发生次数（到达率）

则p(x=k)表示单位时间（面积或体积等）该事件发生k次的概率。

数字特征：

易知，根据定义期望为λ，也能求出方差也为λ。

则p(N(t)=k)表示t时间，该事件发生k次的概率。

②指数分布：

概率密度两种表达形式：

其中θ=1/λ，λ即到达率

对应分布函数的两种表达形式：

期望：

例如你平均每小时接到2通电话，那么你接到电话的平均间隔为30分钟。

方差：

③爱尔朗分布：

爱尔郎分布与指数分布一样多用来表示独立随机事件发生的时间间隔。相比于指数分布，爱尔郎分布更适用于多个串行过程，或无记忆性假设不显著的情况下。除非退化为指数分布，爱尔郎分布不具有无记忆性，一次对其分析相对困难。一般通过将爱尔郎过程分解为多个指数过程的技巧来对爱尔郎分布进行分析。

2.泊松分布、二项分布、爱尔朗分布的推导与关系

①二项分布：

重复n次伯努利实验，且每次实验只有两种相互对立结果，每次实验相互独立，这样的实验叫做n重伯努利实验，得到事件发生的次数的分布叫二项分布。

概率分布：

数字特征：将n重伯努利实验分解为n个二项分布易得，期望为np，方差为np(1-p)。

②二项分布到泊松分布

考虑对于一段时间（或面积、体积），即单位时间，将其分为n段（n->∞），因为每段对应时间级短，那么p也应该接近0,。那么此时事件发生的次数就服从泊松分布，而原二项分布的期望，即n*p，就是事件的平均发生次数，即λ=n*p。

注：第二行到第三行，因为n趋于无穷大，那么n(n-1)...(n-k+1)=n^k

③泊松分布到指数分布：

如果下次事件发生间隔为t，那么等同于t时间内事件发生次数为0，即从泊松分布推导到指数分布：

‘

④指数分布与爱尔郎分布：

⑤指数分布无后效性的推导：

无后效性（马尔科夫性）：

当一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态，即在现在状态时，他与过去状态是条件独立的，即该过程是马尔科夫过程，即具有马尔科夫性质。

3.应用与举例

①泊松分布

在实际事例中，当一个事件以固定的平均速率出现时随机且独立地出现时，那么这个时间在单位时间（面积或体积等）内出现的次数或个数近似服从泊松分布。

如：

某医院平均每小时出生3个婴儿；（单位时间）

某公司平均每小时接到3.5个电话；（单位时间）

采用0.05J/m2紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组平均产生3个嘧啶二体。（单位基因组）

②指数分布

指数分布表示两次事件（服从泊松分布）发生间隔为t的概率。

可用来表示：

婴儿出生的时间间隔；

服从泊松分布的服务的时间间隔；

③指数分布的无记忆性：

如果一个随机变量服从指数分布，那么对于s,t>0，有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。

例如：若果某原件寿命为T，已知使用了t小时，那么它总共使用了s+t小时和其从开始起来使用s小时概率相同。

4.例题

①已知某车站等候人数服从泊松分布，λ=4.5，求刚好两个人在候车的概率。

解：该题单位为每个车站，带入公式已知p（x==2）=4.5^2/2*e^(-4.5)≈0.112

②某医院平均每小时出生3个婴儿，则接下来两个小时没有婴儿出生的概率是多少？

解：该题单位为每小时，代入公式p（N(2)==0）=(3*2)^0*e^(-3*2)/2≈0.0025

③某医院平均每小时出生3个婴儿，接下来15分钟有婴儿出生的概率是多少？