求亲和数算法

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题目描述: 求10000以内的所有亲和数
如果两个数a和b,a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。 例如220和284,1184和1210,2620和2924。

//求解亲和数问题

//第一个for和第二个for循环是logn(调和级数)*N次遍历,第三个for循环扫描O(N)。
//所以总的时间复杂度为 O(n*logn)+O(n)=O(N*logN)(其中logN为调和级数)。

//关于第一个for和第二个for寻找中,调和级数的说明:
//比如给2的倍数加2,那么应该是 n/2次,3的倍数加3 应该是 n/3次,...
//那么其实就是n*(1+1/2+1/3+1/4+...1/(n/2))=n*(调和级数)=n*logn。

//copyright@ 上善若水
//July、updated,2011.05.24。
#include

int sum[5000000];

int main()
{
int i, j;
for (i = 0; i <= 5000000; i++)
sum[i] = 1; //1是所有数的真因数所以全部置1

for (i = 2; i + i <= 5000000; i++) //预处理,预处理是logN(调和级数)*N。
//@litaoye:调和级数1/2 + 1/3 + 1/4......的和近似为ln(n),
//因此O(n *(1/2 + 1/3 + 1/4......)) = O(n * ln(n)) = O(N*log(N))。
{
//5000000以下最大的真因数是不超过它的一半的
j = i + i; //因为真因数,所以不能算本身,所以从它的2倍开始
while (j <= 5000000)
{
//将所有i的倍数的位置上加i
sum[j] += i;
j += i;
}
}

for (i = 220; i <= 5000000; i++) //扫描,O(N)。
{
// 一次遍历,因为知道最小是220和284因此从220开始
if (sum[i] > i && sum[i] <= 5000000 && sum[sum[i]] == i)
{
//去重,不越界,满足亲和
printf("%d %d\n" ,i,sum[i]);
}
}
return 0;
}

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