【LOJ #3157】「NOI2019」机器人（区间DP / 下降幂多项式）

传送门

莫名就跑到了$lojrk1?$
理解不能

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首先可以列出一个显然的$DP$
设$f_{l,r,x}$表示$[l,r]$最大值为$x$的方案数
那么显然有
$$f_{l,r,x}=\sum _{k,|r-k+l-k|\le 2}(\sum _{y\le x}{f}_{l,k-1,x})(\sum _{y<x}{f}_{k+1,r,x})$$

考虑如果对于$A,B$无限制时
可以归纳的得到$f_{l,r}$是关于$x$的$r-l+1$次多项式
由于$x$太大考虑用系数表示
则转移时前缀和实际上是一个离散积分
就是求$y\le x$时$f_{l,r}(y)$用$x$表示的和
如果直接用普通多项式求并不优秀

考虑用下降幂多项式
由于有$$x^{\underline{j}}-(x-1{)}^{\underline{j}}=j(x-1{)}^{\underline{j-1}}$$
则$$x^{\underline{i}}=\frac{(x+1{)}^{\underline{i+1}}-x^{\underline{i+1}}}{i+1}$$
那么$$\sum _{x=1}^n{x}^{\underline{i}}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{(x+1)}^{\underline{i+1}}-x^{\underline{i+1}}}{i+1}$$
$$=\frac{(n+1{)}^{\underline{i+1}}-[i=1]}{i+1}$$
则例如$$\sum _{i=1}^{x-1}\sum _j{a}_j{i}^{\underline{j}}=\sum _j{a}_j\sum _{i=1}^{x-1}{i}^{\underline{j}}=\sum _j{a}_j\frac{x^{\underline{j+1}}}{j+1}$$

于是对于下降幂多项式可以做到$O(n)$求前缀和
那么还需要做的就是对于下降幂多项式相加相乘
至于相乘
可以$mtt$做到$O(nlogn)$
但是没有必要
考虑怎么做$O(n^2)$的乘法
对于${\sum }_i{a}_i{x}^{\underline{i}}\ast {\sum }_i{b}_i{x}^{\underline{i}}$
那么对于左边的$x^{\underline{i}}$，右边应该拿$(x-i{)}^{\underline{j}}$来乘
又有$$x^{\underline{j}}-(x-1{)}^{\underline{j}}=j(x-1{)}^{\underline{j-1}}$$
于是可以每次$O(n)$的将${\sum }_i{b}_i{x}^{\underline{i}}$变成${\sum }_i{b}_i(x-1{)}^{\underline{i}}$

现在考虑有$A,B$的限制
那么可以离散化成$O(n)$个区间
每个区间内部的多项式是一样的
于是变成维护分段下降幂多项式

其他处理是一样的
记忆化搜索实现这个$DP$
复杂度为$O(n{\sum }_{l,r}[区间l,r合法](r-l+1{)}^2)$
据说分析出来就是$O(n^3)$的
确实跑的飞快

#include
using namespace std;
#define cs const
#define re register
#define pb push_back
#define pii pair
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define bg begin
cs int RLEN=1<<20|1;
inline char gc(){
    static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;
    (ib==ob)&&(ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));
    return (ib==ob)?EOF:*ib++;
}
inline int read(){
    char ch=gc();
    int res=0;bool f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
inline ll readll(){
    char ch=gc();
    ll res=0;bool f=1;
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res+(res<<2)<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return f?res:-res;
}
inline int readstring(char *s){
	int top=0;char ch=gc();
	while(isspace(ch))ch=gc();
	while(!isspace(ch)&&ch!=EOF)s[++top]=ch,ch=gc();
	return top;
}
template<class tp>inline void chemx(tp &a,tp b){a<b?a=b:0;}
template<class tp>inline void chemn(tp &a,tp b){a>b?a=b:0;}
cs int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){return (a+=b)>=mod?(a-mod):a;}
inline int dec(int a,int b){a-=b;return a+(a>>31&mod);}
inline int mul(int a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;return (r>=mod)?(r%mod):r;}
inline void Add(int &a,int b){(a+=b)>=mod?(a-=mod):0;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b,a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){static ll r;r=1ll*a*b;a=(r>=mod)?(r%mod):r;}
inline int ksm(int a,int b,int res=1){if(a==0&&b==0)return 0;for(;b;b>>=1,Mul(a,a))(b&1)&&(Mul(res,a),1);return res;}
inline int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
inline int fix(int x){return (x<0)?x+mod:x;}
cs int N=305;
int iv[N];
inline void init_inv(){
	iv[0]=iv[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++)iv[i]=mul(mod-mod/i,iv[mod%i]);
}
typedef vector<int> poly;
inline int F(cs poly &f,int x){
	int res=0;
	for(int i=0,mt=1;i<f.size();Mul(mt,x-i),i++)Add(res,mul(f[i],mt));
	return res;
}
inline poly operator +(poly a,poly b){
	a.resize(max(a.size(),b.size()));
	for(int i=0;i<b.size();i++)Add(a[i],b[i]);
	return a;
}
inline poly operator *(poly a,poly b){
	int deg=a.size()+b.size()-1;
	poly c(deg,0);
	for(int i=0;i<a.size();i++){
		for(int j=0;j<b.size();j++)Add(c[i+j],mul(a[i],b[j]));
		for(int j=1;j<b.size();j++)Add(b[j-1],mul(b[j],j));
	}
	return c;
}
inline poly integ(poly a){
	a.pb(0);
	for(int i=a.size()-1;i;i--)a[i]=mul(a[i-1],iv[i]);
	a[0]=0;return a;
}
typedef pair<poly,int> pi;
typedef vector<pi> Poly;

inline Poly operator +(cs Poly &a,cs Poly &b){
	Poly c;int i=0,j=0,lim=0;
	while(0721){
		c.pb(pi(a[i].fi+b[j].fi,lim));
		if(i+1==a.size()&&j+1==b.size())break;
		if(i+1<a.size()&&(j+1==b.size()||a[i+1].se<b[j+1].se))
		lim=a[++i].se;else lim=b[++j].se;
		if(i+1<a.size()&&a[i+1].se<=lim)i++;
		if(j+1<b.size()&&b[j+1].se<=lim)j++;
	}
	return c;
}
inline Poly operator *(cs Poly &a,cs Poly &b){
	Poly c;int i=0,j=0,lim=0;
	while(0721){
		c.pb(pi(a[i].fi*b[j].fi,lim));
		if(i+1==a.size()&&j+1==b.size())break;
		if(i+1<a.size()&&(j+1==b.size()||a[i+1].se<b[j+1].se))
		lim=a[++i].se;else lim=b[++j].se;
		if(i+1<a.size()&&a[i+1].se<=lim)i++;
		if(j+1<b.size()&&b[j+1].se<=lim)j++;
	}
	return c;	
}
inline Poly cut(cs Poly &a,int l,int r){
	Poly b;b.pb(pi(poly(1),0));
	for(int i=0;i<a.size();i++){
		if(a[i].se<=r&&(i+1==a.size()||a[i+1].se>l))
		b.pb(pi(a[i].fi,max(l,a[i].se)));
	}
	b.pb(pi(poly(1),r+1));
	return b;
}
inline Poly integ(cs Poly &a){
	Poly b;
	for(int i=0;i<a.size();i++){
		b.pb(pi(integ(a[i].fi),a[i].se));
		if(i)b[i].fi[0]=dec(F(b[i-1].fi,a[i].se),F(b[i].fi,a[i].se));
	}return b;
}
Poly f[2505];
int n,id[N][N],tot,L[N],R[N];
void dfs(int l,int r){
	if(id[l][r])return;
	id[l][r]=++tot;
	int u=id[l][r];
	f[u].pb(pi(poly(1,0),0));
	if(l>r){f[u][0].fi[0]=1;return;}
	for(int i=l;i<=r;i++)if(abs(r-i-(i-l))<=2){
		dfs(l,i-1),dfs(i+1,r);
		Poly vl=f[id[l][i-1]],vr=f[id[i+1][r]];
		if(l<i)vl=vl+integ(vl);
		if(i<r)vr=integ(vr);
		f[u]=f[u]+cut(vl*vr,L[i],R[i]);
	}
}
int main(){
	freopen("robot.in","r",stdin);
	freopen("robot.out","w",stdout);
	n=read();
	init_inv();
	for(int i=1;i<=n;i++)L[i]=read(),R[i]=read();
	dfs(1,n);
	cout<<integ(f[id[1][n]]).back().fi[0]<<'\n';
	return 0;
}