数据结构学习笔记--AVL树

好久没更新了，今天来讲二叉树的一个重要应用：二叉搜索树。这次介绍的是平衡二叉树( 也叫AVL 树), 刚开始本来想自己写这篇文章的，书上关于AVL 树这里讲得很复杂( 我是看了半天才看懂) 。好了，废话少说，一起来看吧~

平衡二叉树 (AVL 树 )

这个恐怕是整个《数据结构》教科书里面最难的和最“没用”的数据结构了( 现在的教科书还有部分算法内容) 。说它没用，恰恰是因为它太有用——有着和普通的二叉搜索树完全一样的接口界面，绝大多数情况下比普通的二叉搜索树效率高( 很多) 。因此，通常情况下，人们都是一劳永逸的——写完后就重用，而不会再写了。所以说，你虽然学完了平衡二叉树，但很可能你永远也不会亲自写一个。你现在随便在身边拉个人，让他来写一个，能顺利的写出来的恐怕不多，玩笑之词，且勿当真。

在开始写之前，我很担心，能不能把这部分写清楚，毕竟书上满天的 switch…case ，并且还只是一半——有左旋没有右旋，有插入没有删除。后来，我变得有信心了——因为书上都没有说清楚，都在那里说梦话 。我没有找到 AVL 树的发明者的原著( G. M. Adelson-Velskii and Y. M. Landis . An algorithm for the organization of information . Soviet Math. Dokl., 3:1259--1262, 1962. ) 也不知道我下面所写的是不是体现了发明者的本意 ， 但至少 ， 我认为现在的教科书歪曲了发明者的本意。

基本概念

Ø        平衡

    下面的引文出自Algorithms and Data Structures (Niklaus Wirth , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1986 ISBN: 0-13-022005-1 pp. 215–226 ）

One such definition of balance has been postulated by Adelson-Velskii and Landis [4-1]. The balance criterion is the following:

A tree is balanced if and only if for every node the heights of its two subtrees differ by at most 1.

Trees satisfying this condition are often called AVL-trees (after their inventors). We shall simply call them balanced trees because this balance criterion appears a most suitable one. (Note that all perfectly balanced trees are also AVL-balanced.)

The definition is not only simple, but it also leads to a manageable rebalancing procedure and an average search path length practically identical to that of tbe perfectly balanced tree.

科技文都比较好懂，本人翻译水平比较差，就不献丑了，我只想让大家注意最后一段的画线部分，平衡化应该是易于操作的 ，而绝不是现在你在书上看到的铺天盖地的 switch…case 。

Ø        旋转

平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3 个节点( 其中一个可能是外部节点NULL) ，旋转就是把这3 个节点转个位置。注意的是，左旋的时候p->right 一定不为空，右旋的时候p->left 一定不为空，这是显而易见的。

 

 

可以看到，左旋确实是在向“ 左” 旋转，还是很形象的。右旋是左旋的镜像，就不再另行说明了。下表是左旋和右旋各个节点的指针变换情况。( 括号表示NULL 的情况不执行)

左旋		右旋
t->parent = p->parent	p->parent = t	t->parent = p->parent	p->parent = t
(t->left->parent = p)	p->right = t->left	(t->right->parent = p)	p->left = t->right
t->left = p	p = t	t->right = p	p = t

Ø        平衡因子 （ bf —— balance factor ）

    AVL 树的平衡化靠旋转，而是否需要平衡化，取决于树中是否出现了不平衡。为了避免每次判断平衡时，都求一下左右子树的高度，引入了平衡因子。很可能是1962 年的时候AV&L 没有亲自给出定义，时下里平衡因子的定义乱七八糟——我看了4 本书，两本是bf ＝ 左高－右高，两本是bf ＝ 右高－左高。最有意思的是两本中国人( 严蔚敏和殷人昆) 写的一本左减右，一本右减左；两本外国人写的也是这样。虽然没什么原则上的差别，可苦了中国的莘莘学子们——考试的时候可不管你是哪个门派的。我照顾自己的习惯，下面的bf = 左高－右高，习惯不同的请自己注意。

这样一来，是否需要平衡化的条件就很明了了——|bf| > 1 。如果从空树开始建立，并时刻保持平衡，那么不平衡只会发生在插入删除操作上，而不平衡的标志就是出现bf == 2 或者 bf == -2 的节点。

插入和删除

在AVL 树插入和删除，实际上就是先按照普通二叉搜索树插入和删除，然后再平衡化。可以肯定的说，插入和删除需要的最多平衡化次数不同( 下面会给出根本原因) ，但这不表明插入和删除时的平衡化的思路有很大差别。现有的教科书，仅仅从表面上看到了到了平衡化操作次数不同的假象，而没有从根本上认识到插入和删除对称的本质 ，搞得乱七八糟不说( 铺天盖地的switch…case) ，还严重的误导了读者——以为删除操作复杂的不可捉摸。

AVL 树体现了一种平衡的美感，两种旋转是互为镜像的，插入删除是互为镜像的操作，没理由会有那么大的差别。实际上，平衡化可以统一的这样来操作：

1 ．while (current != NULL) 修改current 的平衡因子。

Ø         插入节点时 current->bf += (current->data > *p)?1:-1;

Ø       删除节点时 current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;

Ø current 指向插入节点或者实际删除节点的父节点，这是普通二叉搜索树的插入和删除操作带来的结果。 *p 初始值是插入节点或者实际删除节点的 data 。因为删除操作可能实际删除的不是 data 。

2 ． 判断是否需要平衡化

if (current->bf == -2) L_Balance(c_root); else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);

3 ． 是否要继续向上修改父节点的平衡因子

Ø         插入节点时 if (!current->bf) break; 这时，以 current 为根的子树的高度和插入前的高度相同。

Ø          删除节点时 if (current->bf) break; 这时，以 current 为根的子树的高度和删除前的高度相同

Ø         之所以删除操作需要的平衡化次数多，就是因为平衡化不会增加子树的高度，但是可能会减少子树的高度，在有有可能使树增高的插入操作中，一次平衡化能抵消掉增高；在有可能使树减低的删除操作中，平衡化可能会带来祖先节点的不平衡 。

4 ． 当前节点移动到父节点，转 1

p = &(current->data); current = current->parent;

完整的插入删除函数如下：

 

bool  insert( const  T  & data) {
     if  ( ! BSTree < T > ::insert(data))  return   false ; 
     const  T *  p  =   & data;
     while  (current) {
        current -> bf  +=  (current -> data  >   * p) ? 1 : - 1 ;
         if  (current -> bf  ==   - 2 ) L_Balance(c_root);
         else   if  (current -> bf  ==   2 ) R_Balance(c_root);
         if  ( ! current -> bf)  break ;
        p  =   & (current -> data); 
        current  =  current -> parent;
    }
     return   true ;
}
bool  remove( const  T  & data) {
     if  ( ! BSTree < T > ::remove(data))  return   false ; 
     const  T *  p  =   & r_r_data;
     // 在class BSTree里添加proteceted: T r_r_data，
     // 在BSTree::remove(const T &data)
     // 里修改为实际删除的节点的data
     while  (current) {
        current -> bf  -=  (current -> data  >   * p)  ?   1  :  - 1 ;
         if  (current -> bf  ==   - 2 ) L_Balance(c_root);
         else   if  (current -> bf  ==   2 ) R_Balance(c_root);
         if  (current -> bf)  break ;
        p  =   & (current -> data); 
        current  =  current -> parent;
    }
     return   true ;
}

你可以看到，他们是多么的对称。

平衡化

    显然的，平衡化后的子树应该是平衡的，以此为原则，很容易得知在各种情况下应该怎么旋转。

private :
     void  L_Balance(BTNode < T >*   & p) {
         if  (p -> right -> bf  ==   1 ) R_Rotate(p -> right);
        L_Rotate(p); current  =  p;
    }
     void  R_Balance(BTNode < T >*   & p) {
         if  (p -> left -> bf  ==   - 1 ) L_Rotate(p -> left);
        R_Rotate(p); 
        current  =  p;
    }

他们也是对称的。

修改平衡因子

    这是整个AVL 树能运转的核心，现在的教科书，也正是因为没有真正弄明白如何修改平衡因子，才搞的switch…case 满天飞。平衡因子的变化发生在旋转中——正因为这样，旋转才能有平衡化的作用——所以，应该把修改平衡因子的工作放在旋转操作中，而不是放在平衡化中。让我们来看看可能的旋转会带来的平衡因子变化的情况：

左旋（旋转后p 暂时没有改变）				右旋（旋转后p 暂时没有改变）
旋转前p	旋转前t	旋转后p	旋转后t	旋转前p	旋转前t	旋转后p	旋转后t
－2	0	－1	1	2	0	1	－1
－2	－1	0	0	2	1	0	0
－2	－2	1	0	2	2	－1	0
－1	0	0	1	1	0	0	－1
－1	－1	1	1	1	1	－1	－1
－1	1	0	2	1	－1	0	－2

旋转的最初发生是因为bf==2 或bf== －2 ，对bf==1 或者bf==-1 的旋转是为了平衡化的需要——平衡化时的旋转p 和t 的bf 不能异号。表面看起来这张表很凌乱，似乎没什么规律，其实不然。

对于左旋——p 的右子树从t 变成了t 的左子树，显然p 的右子树高度至少减1 。t 的bf 代表了原来的t 左右子树的高度差，如果t->bf<0 ，则p 的右子树的高度还要减少|t->bf| 。t 的左子树在原来的左子树上面又多了一个p ，显然左子树高度至少加1 。在p 的平衡因子修改完之后，如果p->bf>0 那么t 的左子树高度还要增加p->bf 。

综合起来就是++(p->bf) -= t->bf < 0 ? t->bf : 0; ++(t->bf) += p->bf > 0 ? p->bf : 0;

对于右旋同理--(p->bf) -= t->bf > 0 ? t->bf : 0; --(t->bf) += p->bf < 0 ? p->bf : 0;

可以看到这也是对称的。

完整的AVL 树实现

---

#define  c_p current->parent
#define  c_root (c_p?((c_p->left == current)?c_p->left:c_p->right):root)
#include  " BSTree.h "
template  < class  T >
class  AVLTree :  public  BSTree < T >  {
public :
     bool  insert( const  T  & data) {
         if  ( ! BSTree < T > ::insert(data))  return   false ; 
         const  T *  p  =   & data;
         while  (current) {
            current -> bf  +=  (current -> data  >   * p) ? 1 : - 1 ;
             if  (current -> bf  ==   - 2 ) L_Balance(c_root);
             else   if  (current -> bf  ==   2 ) R_Balance(c_root);
             if  ( ! current -> bf)  break ;
            p  =   & (current -> data); 
            current  =  current -> parent;
        }
         return   true ;
    }
     bool  remove( const  T  & data) {
         if  ( ! BSTree < T > ::remove(data))  return   false ; 

        const  T *  p  =   & r_r_data;
         while  (current) {
            current -> bf  -=  (current -> data  >   * p) ? 1 : - 1 ;
             if  (current -> bf  ==   - 2 ) L_Balance(c_root);
             else   if  (current -> bf  ==   2 ) R_Balance(c_root);
             if  (current -> bf)  break ;
            p  =   & (current -> data); 
            current  =  current -> parent;
        }
         return   true ;
    }
private :
     void  L_Balance(BTNode < T >*   & p) {
         if  (p -> right -> bf  ==   1 ) R_Rotate(p -> right);
        L_Rotate(p); 
        current  =  p;
    }
     void  R_Balance(BTNode < T >*   & p) {
         if  (p -> left -> bf  ==   - 1 ) L_Rotate(p -> left);
        R_Rotate(p); 
        current  =  p;
    }
     void  L_Rotate(BTNode < T >*   & p) {
        BTNode < T >*  t  =  p -> right;
        t -> parent  =  p -> parent; 
        p -> parent  =  t; 
        p -> right  =  t -> left;
         if  (t -> left) t -> left -> parent  =  p; 
        t -> left  =  p;
         ++ (p -> bf)  -=  t -> bf  <   0   ?  t -> bf :  0 ; 
         ++ (t -> bf)  +=  p -> bf  >   0   ?  p -> bf :  0 ;
        p  =  t;
    }
     void  R_Rotate(BTNode < T >*   & p) {
        BTNode < T >*  t  =  p -> left;
        t -> parent  =  p -> parent; 
        p -> parent  =  t; 
        p -> left  =  t -> right;
         if  (t -> right) t -> right -> parent  =  p; 
        t -> right  =  p;
         -- (p -> bf)  -=  t -> bf  >   0   ?  t -> bf :  0 ; 
         -- (t -> bf)  +=  p -> bf  <   0   ?  p -> bf :  0 ;
        p  =  t;
    }
};

总结与启示

AVL 树是个平衡的二叉树，使用对称的旋转来维持平衡，这也注定了对于它的其他操作也应该是对称的。但由于它不是很完美，因此插入和删除对外表现不那么对称（插入时一次平衡化就能平衡，删除时最坏的情况能一直调整到树根O(logN) ），但他们内在的本质应该是对称的，正如上面给出的——所有的操作都是对称的。

促使我仔细的研究插入和删除的对称性，是出于我认定AVL 树操作是对称的 这一信念。这反映了一个人的哲学修养，我不想在此多谈哲学对于一个人的重要性，只是为那些认为马哲、毛概毫无用处的人惋惜。

   

 

本篇文章转自：数据结构学习（C++）——平衡二叉树（AVL树）