锁相环PLL原理分析

PLL，Phase Locked Loop，锁相环，它的作用是得出正弦波的相位和角速度（区别于芯片硬件上的倍频器）。

为弄清PLL的原理，先来点先导知识：

旋转矢量与三角函数的关系
在直角坐标系αβ中有一个旋转矢量（模值为），在直角坐标系中以速度ω(rad/s)绕中心点逆时针旋转，其在两坐标轴的投影分别为：

直角坐标系

①α坐标轴

②β坐标轴

下面这个PLL环的作用就是求出旋转矢量Ψ的速度ω和角度θ，推导如下：

上图中比较点的输出

其中，θ为矢量的实际角度，为矢量的估计角度，PLL的目的就是让这两个角度相等。

有这么个规律最为关键和有趣：

在角度θ（弧度制）很小的条件下，存在

sinθ ≈ θ

为了直观说明，我用Matlab画了一个图，如下所示：

在0.25弧度角度（约14.3°）以内，两条曲线几乎重合

我把m语言脚本也贴出来：

 i = 0:0.01:0.5;
 y = sin(i);
 plot(i,y,'r');
 hold on
 plot(i,i,'b');
 xlabel("弧度角度");
 legend("sinθ","θ（弧度）");

于是在直角坐标系中，当角度差很小时就有

上面的PLL示意图就可以惊奇地等效为

根据框图，得到开环传递函数

闭环传递函数为

这是一个2型系统，对于斜坡输入（假设角度随时间线性增大），稳态误差为0。

为了验证上面推导的正确性，我在Simulink中搭建了一个PLL模型，如下图所示：

Simulink仿真模型

在调试过程中发现，随着验证的矢量旋转速度越快，PI参数中的KP/KI也要相应增大，不然上升时间太长，系统快速性指标会比较差。

仿真结果：

黄线为sin函数，蓝线为角度

可以看出，模型完成了锁相的目的，推导得到验证。