【NOI2014】魔法森林

【NOI2014】魔法森林

【题目描述】

为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。

【输入】

第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

【输出】

输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。

【输入样例】

4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17

【输出样例】

32

【数据范围】

2<=n<=50000

0<=m<=100000

1<=ai,bi<=50000

（只复制来了最大的数据范围）

【题解】

先说说正解吧，首先对ai进行排序，排序后依次加入这些边，如果出现环就删掉环上bi最大的边，保证整个图是一个森林。每次添边后若1到n连通，则查询1到n的路径上最大的bi值（路径一定是唯一的），然后更新答案。查询和维护需要Link-Cut Tree支持。

（这个方法太神，身为一只蒟蒻在考场基本写不出来OTL）

这题是没有卡掉最短路乱搞的，而且听说最短路优化之后能跑得很快，所以我选择SPFA来做。

最短路的松弛操作修改一下，也可以求出两点间所有路径上权值最大值的最小值，所以我们从小到大枚举ai，从之间边权为ai的节点开始SPFA，并且只走边权不超过这个ai的边。dis数组始终不清空，那么dis[n]若更新，则一定走了至少一条边权为ai的边，dis[n]+ai的最小值就是答案。每次操作可以理解为在询问“当路径上ai不超过某个值时，路径上bi的最小值”。当然，这个方法的理论复杂度是超过时限的（但事实上效果很好）。

PS.7k+神犇的某篇论文讲到了只涉及修改边权的动态MST，和LCT的思路差不多的，可以先把已有的边都设为无穷大，然后添边的过程就是修改边权了。

【代码】

最短路做法在BZOJ上时间基本要垫底了0.0但亲测每个点都能在2s内得到答案。

【NOI2014】魔法森林#代码