信号处理 - 微分到差分的转换

对于连续函数$f(t)$，采样后为$f(kT)$，将其简写为$f(k)$

向前差分

• 一阶向前差分：$$\Delta f(k)=f(k+1)-f(k)$$
• 二阶向前差分：$$\begin{array}{rl}{\Delta }^{2}f(k)& =\Delta f(k+1)-\Delta f(k)=f(k+2)-2f(k+1)+f(k)\end{array}$$
• n阶向前差分：$${\Delta }^{n}f(k)={\Delta }^{n-1}f(k+1)-{\Delta }^{n-1}f(k)$$

向后差分

• 一阶向后差分：$$\nabla f(k)=f(k)-f(k-1)$$
• 二阶向后差分：$${\nabla }^{2}f(k)=\nabla [\Delta f(k)]=f(k)-2f(k-1)+f(k-2)$$
• n阶向后差分：$${\nabla }^{n}f(k)={\nabla }^{n-1}f(k)-{\nabla }^{n-1}f(k-1)$$

例子

假设连续系统微分方程为：
$$a_n\frac{d^{n}y}{d{t}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1\frac{dy}{dt}+a_{0}y=b_m\frac{d^{m}x}{d{t}^m}+b_{m-1}\frac{d^{m-1}x}{d{t}^{m-1}}+\cdots +b_1\frac{dx}{dt}+b_{0}x$$
则两边同时除以$a_0$得：
$$\frac{a_n}{a_0}\frac{d^{n}y}{d{t}^n}+\frac{a_{n-1}}{a_0}\frac{d^{n-1}y}{d{t}^{n-1}}+\cdots +\frac{a_1}{a_0}\frac{dy}{dt}+y=\frac{b_m}{a_0}\frac{d^{m}x}{d{t}^m}+\frac{b_{m-1}}{a_0}\frac{d^{m-1}x}{d{t}^{m-1}}+\cdots +\frac{b_1}{a_0}\frac{dx}{dt}+\frac{b_0}{a_0}x$$
即$$a_n^{\prime }\frac{d^{n}y}{d{t}^n}+a_{n-1}^{\prime }\frac{d^{n-1}y}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_1^{\prime }\frac{dy}{dt}+y=b_m^{\prime }\frac{d^{m}x}{d{t}^m}+b_{m-1}^{\prime }\frac{d^{m-1}x}{d{t}^{m-1}}+\cdots +b_1^{\prime }\frac{dx}{dt}+b_0^{\prime }x$$
$where$,$$a_k^{\prime }=\frac{a_k}{a_0}(k=1\dots n),b_{\mathrm{k}}^{\prime }=\frac{b_k}{a_0}(k=0\dots n)$$
使用向后差分的形式，则等式左边的微分项转为差分项为：
$$\begin{array}{l}y=y(n)=y(k)\\ \\ \frac{dy}{dt}=\frac{y(n)-y(n-1)}{T}=y(k-1)\\ \\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{y(n)-y(n-1)}{T}-\frac{y(n-1)-y(n-2)}{T}=\frac{y(n)-2y(n-1)+y(n-2)}{T^2}=y(k-2)\\ \\ \cdots \\ \\ \frac{d^{n}y}{d{t}^n}=y(k-n)\end{array}$$
同理，等式右边的微分项转为差分项为：
$$\begin{array}{l}x=x(n)=u(k)\\ \\ \frac{dx}{dt}=\frac{x(n)-x(n-1)}{T}=u(k-1)\\ \\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{x(n)-2x(n-1)+x(n-2)}{T^2}=u(k-2)\\ \\ \cdots \\ \\ \frac{d^{m}x}{d{t}^m}=u(k-m)\end{array}$$
将上述所得差分项替换原式中的微分项得：
$$a_n^{\prime }y(k-n)+\cdots +a_1^{\prime }y(k-1)+y(k)=b_m^{\prime }x(k-m)+\cdots +b_1^{\prime }x(k-1)+b_0^{\prime }x(k)+\xi (k)$$
$where$，$$a_k^{\prime }=\frac{a_k}{a_0}(k=1\dots n),b_{\mathrm{k}}^{\prime }=\frac{b_k}{a_0}(k=0\dots n)，\xi (k)为由于差分运算导致的误差项$$

---

关于微分方程与差分方程的联系与区别可参考博文《微分方程和差分方程的区别与联系》