编程之美2.15——二维子数组之和的最大值

问题：

1. 求二维数组（矩阵）的子矩阵之和的最大值。

2. 求三维数组（长方体）的子方体之和的最大值。

解法：

先计算出以左上角的元素(1,1)和当前元素(i,j)为顶点对的子矩阵的部分和，部分和的计算如下

PS[i][j] = A[i][j]+PS[i-1][j]+PS[i][j-1]-PS[i-1][j-1]

在上一篇文章中我们发现一维的解答可以线性完成，这里我们把问题从二维转化为一维以提高算法性能。

假设已经确定了矩阵区域的上下边界，不如知道矩阵区域的上下边界分布是第a行和第c行，接下来要确定左右边界。

我们把第a行和第c行之间的每一列看成一个整体，相当于一维数组中的一个元素（通过子矩阵部分和可以在O(1)时间内计算出整体之和）。

#include 
#include 
using namespace std;

#define MAXN 1003
int A[MAXN][MAXN];
long long PS[MAXN][MAXN];

inline long long MatrixSum(int s, int t, int i, int j)
{
	return PS[i][j]-PS[i][t-1]-PS[s-1][j]+PS[s-1][t-1];
}

int main()
{
	int m, n, i, j;
	cin >> n >> m;
	for (i=1; i<=n; i++)
		for (j=1; j<=m; j++)
			cin >> A[i][j];
	for (i=0; i<=n; i++)
		PS[i][0] = 0;
	for (j=0; j<=m; j++)
		PS[0][j] = 0;
	// 计算矩阵的部分和
	for (i=1; i<=n; i++)
		for (j=1; j<=m; j++)
			PS[i][j] = A[i][j]+PS[i-1][j]+PS[i][j-1]-PS[i-1][j-1];
	int a, c;
	long long All = A[1][1];
	for (a=1; a<=n; a++)
		for (c=a; c<=n; c++)
		{
			// 将子矩阵上下边界设为第a行和第c行，在这些子矩阵中取最大值
			long long Tail = MatrixSum(a, 1, c, 1);
			for (j=2; j<=m; j++)
			{
				Tail = max(MatrixSum(a, j, c, j), 
					MatrixSum(a, j, c, j)+Tail); 
				All = max(Tail, All);
			}
		}
	cout << All;
}

若二维数组的左右首尾也能相连，像一条首尾相连的带子，算法如下：

#include 
#include 
using namespace std;

#define MAXN 1003
int A[MAXN][MAXN];
long long PS[MAXN][MAXN];

inline long long MatrixSum(int s, int t, int i, int j)
{
	return PS[i][j]-PS[i][t-1]-PS[s-1][j]+PS[s-1][t-1];
}

int main()
{
	int m, n, i, j;
	cin >> n >> m;
	for (i=1; i<=n; i++)
		for (j=1; j<=m; j++)
			cin >> A[i][j];
	for (i=0; i<=n; i++)
		PS[i][0] = 0;
	for (j=0; j<=m; j++)
		PS[0][j] = 0;
	// 计算矩阵的部分和
	for (i=1; i<=n; i++)
		for (j=1; j<=m; j++)
			PS[i][j] = A[i][j]+PS[i-1][j]+PS[i][j-1]-PS[i-1][j-1];
	int a, c;
	long long All = A[1][1];
	// 上下边界不会跨过第n行和第1行
	for (a=1; a<=n; a++)
		for (c=a; c<=n; c++)
		{	
			// 将子矩阵上下边界设为第a行和第c行
			// 左右边界不会跨过第m列和第1列
			long long Tail = MatrixSum(a, 1, c, 1);
			for (j=2; j<=m; j++)
			{
				Tail = max(MatrixSum(a, j, c, j), 
					MatrixSum(a, j, c, j)+Tail); 
				All = max(Tail, All);
			}
			// 左右边界会跨过第n列和第1列
			long long Sum = MatrixSum(a, 1, c, 1);
			long long Start = Sum;
			int sind = 1;
			for (i=2; i<=m; i++)
			{
				Sum += MatrixSum(a, i, c, i);
				if (Sum > Start) {Start = Sum; sind = i;}
			}
			Tail = MatrixSum(a, m, c, m);
			int tind = m;
			for (j=m-1; j>=1; j--)
			{
				Sum += MatrixSum(a, j, c, j);
				if (Sum > Tail) {Tail = Sum; tind = j;}
			}
			if (sindAll)
				All = Start+Tail;
		}
	cout << All;
}

2. 解法：

思路和二维一样，但时间复杂度增加到O(n^5)。通过将高维转化为低维的方法，每增加一维时间复杂度要增加O(n^2)。
方体的部分和计算公式如下：PS[i][j][k] = A[i][j][k]+PS[i-1][j][k]+PS[i][j-1][k]+PS[i][j][k-1]-PS[i-1][j-1][k]-PS[i-1][j][k-1]-PS[i][j-1][k-1]+PS[i-1][j-1][k-1];

#include 
#include 
using namespace std;

#define MAXN 1003
int A[MAXN][MAXN][MAXN];
int PS[MAXN][MAXN][MAXN];

inline int CubeSum(int a, int b, int c, int d, int i, int j)
{
	return PS[b][d][j]-PS[a-1][d][j]-PS[b][c-1][j]-PS[b][d][i-1]+
		PS[a-1][c-1][j]+PS[a-1][d][i-1]+PS[b][c-1][i-1]-PS[a-1][c-1][i-1];
}

int main()
{
	int n, m, h, i, j, k;
	cin >> n >> m >> h;
	for (i=1; i<=n; i++)
		for (j=1; j<=m; j++)
			for (k=1; k<=h; k++)
				cin >> A[i][j][k];
	for (i=0; i<=n; i++)
		for (j=0; j<=m; j++)
			PS[i][j][0] = 0;
	for (i=0; i<=n; i++)
		for (k=0; k<=h; k++)
			PS[i][0][k] = 0;
	for (j=0; j<=m ; j++)
		for (k=0; k<=h; k++)
			PS[0][j][k] = 0;
	// 计算长方体的部分和
	for (i=1; i<=n; i++)
	for (j=1; j<=m; j++)
	for (k=1; k<=h; k++)
		PS[i][j][k] = A[i][j][k]+PS[i-1][j][k]+PS[i][j-1][k]+PS[i][j][k-1]-
			PS[i-1][j-1][k]-PS[i-1][j][k-1]-PS[i][j-1][k-1]+PS[i-1][j-1][k-1];
	int a, b, c, d;
	int All = A[1][1][1];
	// 限制第一维的取值范围
	for (a=1; a<=n; a++)
	for (b=a; b<=n; b++)
		// 限制第二维的取值范围
		for (c=1; c<=m; c++)
		for (d=c; d<=m; d++)
		{
			// 只剩下最后一维没有确定，利用一维部分和的方法
			int Tail = CubeSum(a,b,c,d,1,1);
			for (j=2; j<=k; j++)
			{
				int cur = CubeSum(a,b,c,d,j,j);
				Tail = max(Tail+cur, cur);
				All = max(Tail, All);
			}
		}
	cout << All;
}