【PAT甲级】1010 Radix (25 分)

1010 Radix

题目描述

Given a pair of positive integers, for example, 6 and 110, can this equation 6 = 110 be true? The answer is yes, if 6 is a decimal number and 110 is a binary number.

Now for any pair of positive integers N₁​ and N₂, your task is to find the radix of one number while that of the other is given.

Input Specification:

Each input file contains one test case. Each case occupies a line which contains 4 positive integers:

N1 N2 tag radix

Here N1 and N2 each has no more than 10 digits. A digit is less than its radix and is chosen from the set { 0-9, a-z } where 0-9 represent the decimal numbers 0-9, and a-z represent the decimal numbers 10-35. The last number radix is the radix of N1 if tag is 1, or of N2 if tag is 2.

Output Specification:

For each test case, print in one line the radix of the other number so that the equation N1 = N2 is true. If the equation is impossible, print Impossible. If the solution is not unique, output the smallest possible radix.

Sample Input 1:

6 110 1 10

Sample Output 1:

2

Sample Input 2:

1 ab 1 2

Sample Output 2:

Impossible

思路

本题难度不大，但是有几个测试点比较难以通过，需要注意的点是：

1. 题目说数字个数不超过10位，因此根据PAT考试特性，一定有测试用例是10位的数字，因此不能使用int来存储数字，大小不够，需要使用long long类型来存储数字
2. 计算可能的基数的时候，一开始使用从2到无穷大进行遍历，一旦某一个基数超出计算结果就退出循环，这样的方法有个问题是速度太慢，因此需要使用二分查找的方法，将O(N)的时间复杂度降低到O(logN)
3. 对于某一个基数的运算，有可能计算结果超出long long的范围，由于计算机的特性，溢出的时候，数字会变为负数，因此判定时，如果数字变为负数，证明这个基数过大，不对
4. 使用二分查找，需要定义上界跟下界，下界应该是数字字符串最大的数字加1(至少为2)，例如一个字符串为adc，那么该数字的基数至少为13。上界限的定义比较复杂：首先上界限一定是大于下界限的，其次上界限最多为目标数字的大小+1，比如另一个数字是99，那么上界限最多为99，因为要判断的数的基数一旦大于目标数，不可能与这个数相同

• 给出几个测试用例：

input:
9999999999 9999999999 1 10
output:
10

input:
12 c 1 10
output:
13

input:
99 10 1 10
output:
99

input:
0 0 1 10
output:
2

代码

首先需要定义一个将一个字符串根据基数转化为十进制数的函数：
就是简单的累加

long long number_to_ten(char *a,long long radix)//calculate the number of char with radix
{
    long long sum=0,len=strlen(a),mul=1;
    for(int i=len-1;i>=0;i--)
    {
        if(a[i]>='0'&&a[i]<='9')
        {
            if(a[i]-'0'>=radix)return 0;
            sum+=(a[i]-'0')*mul;
        }
        else
        {
            if(a[i]-'a'+10>=radix)return 0;
            sum+=(a[i]-'a'+10)*mul;
        }
        mul*=radix;
    }
    return sum;
}

其次要定义根据目标数查找基数的函数：

在这个函数中，分为两步：

1. 首先是定义查找基数的范围，即上下界，下界是找字符串最大的数字+1，上界是目标数+1或下界+1中较大的
2. 其次是使用二分查找找到满足条件的最小基数

注意题目中说，如果存在多个基数满足结果，输出的应该是可能的最小基数，因此在二分查找中，如果一旦中间值满足条件，应该把上界设为中间值，只有在中间值满足条件，且下界也满足条件，返回下界值

long long find_radix(char* a,long long equal)
{
	//定义上下界
    long long min_radix=2,max_radix;
    long long radix;
    for(int i=0;i<strlen(a);i++)//find the min base
    {
        if(a[i]>='0'&&a[i]<='9')
        {
            min_radix=min_radix>(a[i]-'0')?min_radix:(a[i]-'0'+1);
        }
        else
        {
            min_radix=min_radix>(a[i]-'a'+10)?min_radix:(a[i]-'a'+10+1);
        }
    }
    max_radix=(equal+1)>min_radix?(equal+1):min_radix+1;//find the max base
    //使用二分查找找到满足条件的最小基数
    while(min_radix<=max_radix)
    {
        radix=(min_radix+max_radix)/2;
        long long sum=number_to_ten(a,radix);
        if(sum<0)
        {
            max_radix=radix-1;
            continue;
        }
        if(sum>equal)//如果中间值大，把上界设为中间值-1
        {
            max_radix=radix-1;
        }
        else if(sum<equal)//如果中间值小，把下界设为中间值+1
        {
            min_radix=radix+1;
        }
        else//如果中间值满足条件，将上界设为中间值，因为前面有可能还有比中间值更小的满足条件的
        {
            max_radix=radix;
            if(number_to_ten(a, min_radix)==equal)//只有当下界也满足条件的时候，认为下界已经是最小的满足条件的值了，返回下界
            {
                return min_radix;
            }
        }
    }
    //一旦上下界大小颠倒，证明没有满足的情况，退出循环返回-1；
    return -1;
}

主函数

#include
#include

#define MAXN 11

long long number_to_ten(char*,long long);
long long find_radix(char*,long long);

int main()
{
    char a[MAXN],b[MAXN];
    long long tag,radix;
    scanf("%s %s %lld %lld",&a,&b,&tag,&radix);
    long long res;
    if(tag==1)
    {
        res=find_radix(b, number_to_ten(a,radix));
    }
    else
    {
        res=find_radix(a, number_to_ten(b, radix));
    }
    if(res==-1)
    {
        printf("Impossible\n");
    }
    else
    {
        printf("%lld\n",res);
    }
    return 0;
}

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