Lust(Codeforces Round #446 Div.1-891E)(母函数\生成函数)

题目

你有n个数 $a_1,a_2,...,a_n$ ,要进行 $k$ 次操作，每次在 $1$ ~ $n$ 中随机选择一个数 $x$，使得$res+={\prod }_{i!=x}{a}_i$ ,然后 $a_x$ 减少 $1$，求最后 $res$ 值的期望，答案对 $10^9+7$ 取模。
数据范围：
$1\le n\le 5000,1\le k\le 10^9,0\le a_i\le 10^9$

思路

我们考虑在某一个局面即将进行一次操作:
记现在 $a_i$ 减少的次数为 $b_i$ ，我们选中 $a_x$
那我们计算一次答案贡献：
$$\prod _{i!=x}(a_i-b_i),同时b_x+=1$$
那么我们变形
$$((a_x-b_x)-(a_x-(b_x+1)))\ast \prod _{i!=x}(a_i-b_i)$$
$$\prod _{i=1}^n(a_i-b_i)-(\prod _{i=1}^n(a_i-b_i))\ast (a_x-(b_x+1))$$
我们记某一个局面 $\alpha =(b_1,b_2,...,b_n)$
我们记 $$f(\alpha )=\prod _{i=1}^n(a_i-b_i)$$
那么一次的贡献为： $f(\alpha )-f(\beta )$
初局面：
$$f(start)=\prod _{i=1}^n{a}_i$$
于是类似于裂项相消的样子,我们只剩初局面和末局面

即
$$E=f(start)-\sum \frac{k!}{n^k\ast {\prod }_{i=1}^n{b}_i!}\ast f(end)$$
于是我们只需保证:${\sum }_{i=1}^n{b}_i=k$，
化简后半段
$$\sum \frac{k!}{n^k\ast {\prod }_{i=1}^n{b}_i!}\ast \prod _{i=1}(a_i-b_i)=\frac{k!}{n^k}\ast \sum \prod _{i=1}\frac{a_i-b_i}{b_i!}$$
发现这个似乎很难搞，我们考虑化简和指数型母函数构造：
$$G(x)=\prod _{i=1}^n\sum _{j=0}^{+\infty }\frac{a_i-j}{j!}{x}^j$$
$$=\prod _{i=1}^n\sum _{j=0}^{+\infty }(\frac{a_i}{j!}{x}^j-\frac{j}{j!}{x}^j)$$
$$=\prod _{i=1}^n(\sum _{j=0}^{+\infty }\frac{a_i}{j!}{x}^j-\sum _{j=0}^{+\infty }\frac{x}{j!}{x}^j)$$
$$=\prod _{i=1}^n((a_i-x)\ast \sum _{j=0}^{+\infty }\frac{x^j}{j!})$$
$$=\prod _{i=1}^n((a_i-x)\ast e^x)$$
$$=e^{nx}\prod _{i=1}^n(a_i-x)$$
我们的目标是求 $G(x)$ 的第 $k$ 项系数 $f_k$,考虑将后面直接 $O(n^2)$ 拆成多项式形式(当然你会分治FFT $O(nlo{g}^{2}n)$)：
$$G(x)=e^{nx}\ast \sum _{i=0}^n{c}_i\ast x^i$$
前面拆开：
$$G(x)=(1+\frac{nx}{1!}+\frac{(nx{)}^2}{2!}+...)\ast \sum _{i=0}^n{c}_i\ast x^i$$
我们要求第 $k$ 项的系数 $g_k$：
$$g_k=\sum _{i=0}^n{c}_i\ast \frac{n^{k-i}}{(k-i)!}$$
回代到答案的后半段：
$$\frac{k!}{n^k}\ast \sum \prod _{i=1}\frac{a_i-b_i}{b_i!}=\frac{k!}{n^k}\ast g_k$$
$$=\frac{k!}{n^k}\ast \sum _{i=0}^n{c}_i\ast \frac{n^{k-i}}{(k-i)!}$$
我们知道 $n$ 相较于 $k$ 很小 于是继续化简：
$$=\sum _{i=0}^n{c}_i\ast \frac{A_k^i}{n^i}$$
最后这个式子我们可以考虑递推 $O(n)$ 计算
总时间复杂度：$O(n^2)/O(nlo{g}^{2}n)$

代码

#include
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#include
#include
using namespace std;
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
LL read(){
	LL f=1,x=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||'9'<c){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return f*x;
}
#define MAXN 5000
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Mod (LL)(1e9+7)
LL Pow(LL x,LL y){
	LL ret=1;
	while(y){
		if(y&1) ret=ret*x%Mod;
		x=x*x%Mod;
		y>>=1;
	}
	return ret;
}
LL a[MAXN+5],b[MAXN+5],c[MAXN+5];
int main(){
	LL n=read(),k=read(),ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read(),ans=ans*a[i]%Mod;
	c[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<i;j++)
			b[j]=c[j]*a[i]%Mod;
		for(int j=0;j<i;j++)
			b[j+1]=(b[j+1]-c[j]+Mod)%Mod;
		memcpy(c,b,sizeof(c));
	}
	LL f=0,t1=1,t2=1,invn=Pow(n,Mod-2);
	for(int i=0;i<=n;i++){
		f=(f+c[i]*t1%Mod*t2%Mod)%Mod;
		t1=t1*(k-i)%Mod,t2=t2*invn%Mod;
	}
	ans=(ans-f)%Mod;
	printf("%lld\n",(ans+Mod)%Mod);
	return 0;
}