数字通信第四章——波形解调与最佳检测接收

\quad 输入$s(t)$经过AWGN信道后得到$r(t)$，即$r(t)=s_m(t)+n(t)$。
\quad 将$s_m(t)$进行施密特正交化，可以写成$s_m(t)={\sum }_{j=1}^N{s}_{mj}{\varphi }_j(t)$，这样就可以得到波形的矢量表达式。噪声$n(t)$不能使用${\varphi }_j(t)$全部展开，可以将其分解成两部分：

• $n_1(t)$：噪声$n(t)$中能够以${\varphi }_j(t)$展开的部分，$n_1(t)={\sum }_{j=1}^N{n}_j{\varphi }_j(t)$
• $n_2(t)$：噪声$n(t)$中不能以${\varphi }_j(t)$展开的部分，$n_2(t)=n(t)-n_1(t)$

\quad 最终，$r(t)={\sum }_{j=1}^N{r}_j{\varphi }_j(t)+n_2(t)$，其中$r_j=s_{mj}+n_j$。
\quad $n_j$是随机变量$n(t)$的线性组合，是高斯的，均值为0，方差为$N_0/2$。$n_2(t)$也是高斯过程，因为$n(t),n_1(t)$是高斯过程。
\quad 结论：$n_2(t),r_j$是不相关的，因此$r_j$是携带发送信号的唯一分量，所以， $n_2(t)$不包含与发送信号有关的任何信息，即$n_2(t)$对最佳检测是无关的信息。可以忽略而不影响检测器的最佳性。

AWGN信道最佳接收机

\quad 接收机作用：对接收信号$r(t)$进行观测，做出判决输出$\hat{m}$。
\quad 最佳判决：导致最小错误概率的判决准则：$P_e=P[\hat{m}\ne m]$。任务是根据$r(t)$设计一个接收机使得错误概率最小，这就是最佳接收机。
\quad 接收机功能分为两步：解调（将波形转换成n维矢量）、检测器（判决）。

解调器

• 将接收到的信号加噪声变换成N维矢量。即将r(t)展开成一系列线性加权的标准正交基函数之和：$r(t)={\sum }_{k=1}^N{r}_k{\varphi }_k(t)$，将$r(t)$转化为矢量$r(k)$。可以用相关接收机来实现或匹配滤波器实现。

相关接收机

• $r_k$的均值为$E[r_k]=E[s_{mk}+n_k]=s_{mk}$，方差为${\sigma }_r^2={\sigma }_n^2=N_0/2$
• 因此，随机变量$r=[r_1,r_2,\cdots ,r_N]$的联合概率密度函数为$P(r|s_m)={\prod }_{k=1}^{N}P(r_k|s_{mk})$，得到：
  

匹配滤波器

\quad 用一组N个线性滤波器替代N个相关器来产生$r_k$，滤波器的冲激响应$h_k(t)={\varphi }_k(T-t)$。滤波器输出为$y_k(t)=r(t)\ast h_k(t)={\int }_0^{T}r(\tau )h_k(t-\tau )d\tau ={\int }_0^{T}r(\tau ){\varphi }_k(T-t+\tau )d\tau$。在$t=T$时抽样得到$y_k(T)={\int }_0^{T}r(\tau ){\varphi }_k(\tau )d\tau =r_k$。
\quad 所谓匹配即为与原信号匹配，例如下图中$h(t)=s(T-t)$：

\quad 当输入为带有噪声的信号$s(t)+n(t)$，使用匹配滤波器$h(t)=s(T-t)$时，在$t=T$时采样，输出结果的信噪比最大，为$2{\int }_0^T{s}^2(t)dt/N_0$。匹配滤波器的输出信噪比决定于信号波形$s(t)$的能量，与$s(t)$的细节特征无关。无噪声情况下匹配滤波器输出信号功率为$P_s={\int }_0^T{s}^2(t)dt$。

最佳检测器

\quad 在观测向量$r=[r_1,r_2,\cdots ,r_N]$的基础上，实现最佳判决，即使正确判决的概率最大。

• 后验概率：在观测向量r的基础上，推断发送信号$s_m$的概率：$P(发送信号s_m|r),m=1,2,\cdots ,M$

• 最大后验概率准则MAP：选择后验概率集$P(s_m|r)$中最大值的信号

• $P(s_m|r)=\frac{P(r|s_m)P(s_m)}{P(r)}$

• 当M个信号先验等概时，即$P(s_m)=\frac{1}{M}$，$P(s_m|r)$最大等价于$P(r|s_m)$最大。

• 我们称$P(r|s_m)$为似然函数，因此最大化后验概率在先验等概时等价于最大化似然函数ML。

• 在AWGN信道下，$P(r|s_m)=\frac{1}{(\pi N_0{)}^{N/2}}exp\{-{\sum }_{k=1}^N\frac{(r_k-s_{mk}{)}^2}{N_0}\}$，取对数可以得到$InP(r|s_m)=-\frac{1}{2}In(\pi N_0)-\frac{1}{N_0}{\sum }_{k=1}^N(r_k-s_{mk}{)}^2$。因此$P(r|s_m)$最大等价于${\sum }_{k=1}^N(r_k-s_{mk}{)}^2$最小。

• 经过重重推导，最小化${\sum }_{k=1}^N(r_k-s_{mk}{)}^2$等价于最大化$C(r,s_m)=2{\int }_0^{T}r(t)s_m(t)dt-||s_m|{|}^2$。因此最佳接收机可以将接受信号$r(t)$与M个可能发送的信号做相关运算，如下图所示：

• 也可以使用匹配滤波器在$t=T$时刻采样，效果一样。

• 判决域

• 误符号差错概率：$P_e={\sum }_{m=1}^M{P}_{m}P(r\notin D_m|s_{m}sent)={\sum }_{m=1}^M{P}_m{P}_{e|m}$

• 误比特率：单个比特传输时的差错概率

• 接下来看看几种信号的误比特率

二进制PAM：二进制双极性信号

\quad 信号波形：$s_1(t)=g(t),s_2(t)=-g(t)$

二进制正交信号