hihocoder #1033 交错和问题的思考
题目要求如下：
时间限制:10000ms
单点时限:1000ms
内存限制:256MB
描述
给定一个数 x，设它十进制展从高位到低位上的数位依次是 a0, a1, …, an - 1，定义交错和函数：
f(x) = a0 - a1 + a2 - … + ( - 1)^(n - 1)a(n - 1)
例如：
f(3214567) = 3 - 2 + 1 - 4 + 5 - 6 + 7 = 4
给定 l, r, k，求在 [l, r] 区间中，所有 f(x) = k 的 x 的和，即：
1405402477702.png
输入
输入数据仅一行包含三个整数，l, r, k(0 ≤ l ≤ r ≤ 1018, |k| ≤ 100)。
输出
输出一行一个整数表示结果，考虑到答案可能很大，输出结果模 109 + 7。
提示
对于样例 ，满足条件的数有 110 和 121，所以结果是 231 = 110 + 121。
更多样例：
Input
4344 3214567 3
Output
611668829
Input
404491953 1587197241 1
Output
323937411
Input
60296763086567224 193422344885593844 10
Output
608746132
Input
100 121 -1
Output
120
样例输入
100 121 0
样例输出
231
思路：
按照动态规划问题求解，若求a与b之间满足要求的数，我们只需从0开始至b满足要求的数-从0至a满足要求的数,即[0,b+1)-[0,a)。
题目的意思是求一个数从高位至低位依次交错求和，将数字拆开，如四位数5845,可以拆为5,8,4,5；
交错和的函数定义：
f(x) = a0 - a1 + a2 - … + ( - 1)^(n - 1)a(n - 1)；
f(5845)=5-8+4-5=-4==5-f(845)=5-(8-4+5);
现在定义函数
f(i)(j)(k)表示i位以j为最高位且交错和为k的数的所有和；
例如f(2)(9)(0)=495,表示00到以9为最高位、位数为2的所有交错和为0的数之和为495，即
f(2)(9)(0)=99+88+77+66+55+44+33+22+11+0=495;
g(i)(j)(k)为0到i位以j为最高位且交错和为k的数的个数;
求解这两个数位数组的求解公式：
假设且f(6)(8)(0),即求解000000-899999中所有交错和为0的数之和。
在之前提到：
f(5845)=5-8+4-5=-4==5-f(845)=5-(8-4+5);
那么推导：
f(a1a2a3a4)=a1-f(a2a3a4)这是必然的。
则000000-899999求解可以化为：000000-7999999与800000-899999满足交错和k的数之和。800000-899999交错和k可以分解为00000-99999满足交错和为8-k的数和，再加上00000-99999满足交错和为8-k的数个数*800000；
所以f(i)(j)(k)=f(i)(j-1)(k)+f(i-1)(9)(j-k)+10^(i-1)g(i-1)(9)(j-k)*j;
g(i)(j)(k)=g(i)(j-1)(k)+g(i-1)(9)(j-k);
上面求出的是高位为j，次以为是9的数与0之间满足交错和的数之和。在问题给出的数如121求解，则将问题化解为：0-99；100-119；120-121满足交错和为k的数之和。
接下来是代码：
#include "iostream"
#include "math.h"
long long int MOD=1000000007;
using namespace std;
int buffer=120;
long long int f[19][10][400]={0},g[19][10][400]={0};
void init()
{
int i,j,k;
i=1;
for (j=0;j<=9;j++)
{
for (k=-120;k<=120;k++)
{
if(j-1>=0)//j>=1,//
{
f[i][j][k+buffer]+=f[i][j-1][k+buffer];
g[i][j][k+buffer]+=g[i][j-1][k+buffer];
}
if (j==k)
{
f[i][j][k+buffer]+=j;
g[i][j][k+buffer]+=1;
}
}
}
for (i=2;i<=19;i++)
{
for (j=0;j<=9;j++)
{
for (k=-120;k<=120;k++)
{
long long int tem=0;
if (j-1>=0)
{
tem=f[i][j-1][k+buffer];
// tem=tem%MOD;
g[i][j][k+buffer]=g[i][j-1][k+buffer];
}
tem+=f[i-1][9][j-k+buffer];
tem=tem%MOD;
//tem+=((long long int)pow(10,i-1)%MOD*g[i-1][9][j-k+buffer]*j)%MOD;
long long int P=(long long int)pow(10,i-1);
P=P%MOD;
P=P*j;
P=P%MOD;
long long int Num=g[i-1][9][j-k+buffer];
Num=Num%MOD;
P=P*Num;
P=P%MOD;
tem=tem+P;
tem=tem%MOD;
f[i][j][k+buffer]=tem;
g[i][j][k+buffer]+=g[i-1][9][j-k+buffer];
}
}
}
}
long long int search(long long int a,int k)
{
int bit[19]={0};
long long int b=a;
int len=0;
long long int tem=0;
while (b>0)//将数字以位数形式存储//
{
bit[++len]=b%10;
b=b/10;
}
for (int i=1;i<=len;i++)
{
if(bit[i]>0)
{
if (i==len)//数字首位第一个数;
{
tem+=f[i][bit[i]-1][k+buffer]-f[i][0][k+buffer];
tem=(tem+MOD)%MOD;
for (int j=i-1;j>0;--j)
{
tem+=f[j][9][k+buffer]-f[j][0][k+buffer];
tem=(tem+MOD)%MOD;
}
}
else //数位非数字的首位;
{
int x=1;
int val=0,value;
for (int j=len;j>i;j--)
{
val+=x*bit[j];
x=-x;
}
value=(k-val)*x;
tem+=f[i][bit[i]-1][value+buffer];
tem=tem%MOD;
//tem+=(long long int)((a/(long long int)(pow(10,i)))%MOD*((long long int)pow(10,i)*g[i][bit[i]-1][value+buffer])%MOD)%MOD;
long long int P=(long long int)pow(10,i);
long long int temp=(long long int)(a/P)*P;
temp=temp%MOD;
long long int Num=g[i][bit[i]-1][value+buffer];
Num=Num%MOD;
temp=temp*Num;
temp=temp%MOD;
tem=tem+temp;
tem=tem%MOD;
}
}
}
return tem;
}
int main()
{
init();
int k;
long long int l,r;
cout<2][9][0+buffer];
while(cin>>l>>r>>k)
cout<<((search(r+1,k)-search(l,k))+MOD)%MOD<return 0;
} 代码测试了最高为18位的数，与网上代码结果对比相同，但提交是RE，暂时不清楚问题出在哪。
网上有许多成功的例子，思路都一样，不过用的是数位DP记忆化搜索，代码如下：
#include