Codeforces 1107 F (二分图最大权匹配)

传送门

题意：

有$n$个贷款，你在月初可以申请任意一个贷款。对于第$i$个贷款，你可以获得$a_i$元，但是你要在未来的$k_i$个月底还$b_i$元。现在每个贷款只能申请一次，问在某个时刻，你能够获得的最多的钱。

题目分析：

我们思考这样的一个问题，假设我们选取了第$i$个贷款，并经过了$j$个月，那么对于选取第$i$个贷款这个行为，它对答案的贡献为：$$\max (a_i-b_i\times (\min (k_i,j-1)),0)$$而显然，对于每一个贷款，都会有一个这样的跟月份有关的方程。

同时我们发现，每一个贷款都是是相互独立的；同时，对于每一个月份也是相互独立的（即它们之间没有相互的制约关系）。而唯一存在制约关系的是贷款与月份。因此，我们可以把贷款和月份的关系看作一张二分图。其中第$i$个贷款到第$j$个月份的权值即为$\max (a_i-b_i\times (\min (k_i,j-1)),0)$。

因此，要求出某个时刻的最大值，我们即求出这张二分图的最大权匹配即可。这个我们只需要用KM算法即可。时间复杂度：$\mathcal{O}(n^3)$

这个题还可以用时间复杂度为$\mathcal{O}(n^2)$的$dp$去解决，$dp$的方法有待更新$\dots$

代码：

#include 
#define maxn 505
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll g[maxn][maxn];
int a[maxn],b[maxn],k[maxn];
int n;
int nx,ny;
ll linker[maxn],lx[maxn],ly[maxn];
ll slack[maxn];
bool visx[maxn],visy[maxn];
//KM板子
bool dfs(int x){
    visx[x]=true;
    for(int y=0;y<ny;y++){
        if(visy[y]) continue;
        int tmp=lx[x]+ly[y]-g[x][y];
        if(tmp==0){
            visy[y]=true;
            if(linker[y]==-1||dfs(linker[y])){
                linker[y]=x;
                return true;
            }
        }
        else if(slack[y]>tmp)
            slack[y]=tmp;
    }
    return false;
}
ll KM(){
    memset(linker,-1,sizeof(linker));
    memset(ly,0,sizeof(ly));
    for(int i=0;i<nx;i++){
        lx[i]=-INF;
        for(int j=0;j<ny;j++)
            if(g[i][j]>lx[i])
                lx[i]=g[i][j];
    }
    for(int x=0;x<nx;x++){
        for(int i=0;i<ny;i++)
            slack[i]=INF;
        while(true){
            memset(visx,false,sizeof(visx));
            memset(visy,false,sizeof(visy));
            if(dfs(x)) break;
            int d=INF;
            for(int i=0;i<ny;i++){
                if(!visy[i]&&d>slack[i])
                    d=slack[i];
            }
            for(int i=0;i<nx;i++)
                if(visx[i])
                    lx[i]-=d;
            for(int i=0;i<ny;i++){
                if(visy[i]) ly[i]+=d;
                else slack[i]-=d;
            }
        }
    }
    ll res=0;
    for(int i=0;i<ny;i++){
        if(linker[i]!=-1)
            res+=g[linker[i]][i];
    }
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&k[i]);
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){//对于每个贷款与月份建边
            g[i][j]=max(a[i]-1ll*b[i]*(min(k[i],j)),0ll);
        }
    }
    ll res=0;
    nx=ny=n;
    res=KM();
    cout<<res<<endl;
}