【HDU】 2239 机器人的项链

机器人的项链

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题目大意

    题目里面说的很清楚了。
    这个项链有n个的珠子组成，珠子的类型有m种，请问能组成多少种不同类型的项链（若一个项链可以通过另一个项的链旋转得到，那么认为这两个项链为同一种项链）。

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题解

    很明显的对称性计数，首先确定是Polya。算出结果后，得到ans：

ans=1n∑k=1nmgcd(n,k)

    但是单纯的Polya还不行，鉴于n很大，我们不能从1一直枚举到n去求gcd(n,k)，好在gcd(n,k)只有可能是n的约数，所以我们可以把相同的gcd(n,k)放到一起算，于是我们设gcd(n,k)=i:

gcd(n,k)=i设k=cigcd(n,ci)=i同除i，得到gcd(ni,c)=1

    可以看到，最后一个式子中c的个数就是相同gcd(n,k)的个数，而c又是 ϕ(n/i) 的值（欧拉函数），所以我们可以通过求欧拉函数来求相同的gcd个数。
    综上，最终ans

ans=1n∑i |nmiϕ(ni)

    对了，最后还有一点：本题9937并不是质数…最后除法求模的时候n和9937并不一定互质…所以，最终的ans老老实实从0开始推吧…..

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代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define MOD 9937
#define LL long long

using namespace std;

LL n,m,h=0;
LL p[600005];
bool vis[600005];

void setup()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(p,0,sizeof(p));
    h=0; p[h++]=2;
    for (int i=2;i<=600000;i+=2) vis[i]=1;
    for (int i=3;i<=600000;i+=2) if (!vis[i])
    {
        p[h++]=i;
        for (int j=i;j<=600000;j+=i) vis[j]=1;
    }
}

LL pow_mod(LL a,LL b)
{
    LL  ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=(ans*a)%MOD;
        b>>=1;
        a=(a*a)%MOD;
    }
    return ans;
}

LL eular(LL n)
{
    LL ans=n;
    for (int i=0;p[i]*p[i]<=n;i++)
        if (n%p[i]==0)
    {
        LL t=n/p[i];
        ans=(ans/p[i])*(p[i]-1);
        while (n%p[i]==0) n/=p[i];
    }
    if (n>1) ans=(ans/n)*(n-1);
    return ans;
}

int main()
{
    setup();
    while(scanf("%I64d%I64d",&n,&m)!=EOF)
    {
        LL ans=0,ti=0,high=(LL) sqrt(n);
        for (int i=1;i<=high;i++) if (n%i==0)
        {
            LL t=eular(n/i),oth=n/i;
            ans=(ans+t*pow_mod(m,i))%MOD;
            if (i!=oth)
            {
                t=eular(n/oth);
                ans=(ans+t*pow_mod(m,oth))%MOD;
            }
        }
        for (ti=0;tiif (ans ==(ti*(n%MOD)%MOD)) break;
        printf("%I64d\n",ti);
    }
    return 0;
}