经典迭代的算法总结——斐波那契数和辗转相除法

1关于迭代法的理解：

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

2辗转相除法

辗转相除法又称为欧几里德算法，是一种经典的迭代算法。用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公约数
同理，假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数。
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。欧几里德算法就是根据这个原理来做的。它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。代码表述：

/* 辗转相除法 */
	public static int gcd_2(int a, int b) {
		if (a < 0 || b < 0)/* 预防错误 */
			return 0;
		int temp;
		/* b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值 */
		while (b > 0) {
			temp = a % b;
			a = b;
			b = temp;
		}
		return a;
	}

从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b；根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp；直到迭代过程结束（余数为0）。b是向前不断的取值。

3斐波那契数列

斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib⑴=0; fib⑵=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n>2时）。
在n>2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。

/* fibonacci数列 */
	public static int fibonacci(int n) {
		if (n < 1)
			return 0;
		if (n == 1 || n == 2)/* 特殊值无需迭代 */
			return 1;
		int f1 = 1, f2 = 1, fn = 0;/* 迭代变量 */
		int i;
		for (i = 3; i <= n; i++) {/* 用i的值来限制迭代的次数 */
			fn = f1 + f2;
			f1 = f2;// f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面
			f2 = fn;
		}
		return fn;
	}