北交入学训练之变种汉诺塔问题

Tower of Hanoi

成绩: 5 / 折扣: 0.8

题面描述 

变种汉诺塔问题和普通汉诺塔问题略有不同，规则描述如下： 

1. 有三根柱子，在最左侧柱子上放置着若干圆盘。与传统汉诺塔不同的是，其中存在部分大小相同的圆盘。 

2. 要求包括初始状态在内，每个圆盘上方放置的圆盘不得大于该圆盘，即圆盘上方只能放置小于自己或和自己相同大小的圆盘。 

3. 每次移动只能将某柱子最顶部的一个圆盘移动到另一柱子的最顶部。 

4. 需要注意的是，大小相同的圆盘具有的其他特征是不一样的，例如不同颜色。 

最后需要保证 2 号柱子上的圆盘排列顺序，和开始时的 0 号柱子上的顺序完全相同。 

求将初态 0 号柱子上的所有圆盘全部移到 2 号柱子上最优策略的步数 l 对 m 取模后的值。  

输入数据 

对于每组数据： 

第一行有一个整数 t (1 ≤ t ≤ 100 ) ，表示有 t 组数据。

第一行包括 2 个数字 n,m (1≤n≤15000, 1≤m≤1000000) ，其中 n 代表圆盘种类的个数； 

第二行包括 n 个数字 a1, … , an (1 ≤ ai≤ 99 )，其中 ai 代表大小为 i 的圆盘个数。 

输出数据 

对于每组数据，输出一行，若最优策略的步数为 l ，则输出 l mod m 。 

样例输入 

2
2 1000
1 2
3 1000
1 2 3 

样例输出 

7
21

---

思想：主要是考虑不同情况下的最少移动次数，我是递归的思维想，然后用递推实现。以第二个例子为例。

首先，把每一类圆盘看做一类，这时有三类，个数分别为1，2，3，记作arr[1]=1,arr[2]=2,arr[3]=3。

第二步，要考虑到因为有相同大小盘子的存在，移动盘子中间可以不保证顺序，只要最终顺序正确即可。第二个是整体的思想，把整个问题想成上面n-1类盘子与最后一类盘子的问题，对于我们这个例子，先想成上面两类盘子是一块，最下面一类盘子是一块，即可得出unorder[3]=onorder[2]*2+arr[3]，而对于unorder[2]，同理想成上面一类是一块，下面一类是一块，unorder[2]=unorder[1]*2+arr[2]，而最后unorder[1]，不论arr[1]个数是多少，都只需arr[1]次，即unorder[1]=arr[1]。

第三步，最终我们的目的是移动后有序，而对于有序的移动，有两种情况，第一种是，最下面的一类盘子数量只有一个，这种情况下最优的操作是，上面的其他盘子移动两次，最下面的盘子移动一次，即order[n]=unorder[n-1]*2+1，这里使用无序移动，是因为无序偶次就是有序。第二种情况是，最下面的盘子数量有n个（n>1）,这种情况下最优操作是上面的剩余盘子2次无序移动和一次有序移动，下面的这类盘子移动2*arr[n]次，即，order[n]=2*unorder[n-1]+2*arr[n]+order[n-1]，而对于order[1]一定是2*arr[1]-1次（可以自己动手算下，就是最后一个盘子只移动一次，其余盘子移动两次，即可有序）。

AC代码如下：

#include 
#include 
using namespace std;
int unorder[15001], order[15001], arr[15001];
int main() {
    int T, n, m;
    scanf("%d", &T);
    for (int i=1;i<=T;i++) {
        scanf("%d %d", &n, &m);
        for (int j=1;j<=n;j++) {
            scanf("%d", &arr[j]);
        }
        unorder[1] = arr[1];
        for (int j=2;j<=n;j++) {
            unorder[j] = ((2*unorder[j-1])%m+arr[j])%m;
        }
        order[1] = 2*arr[1]-1;
        for (int j=2;j<=n;j++) {
            if (arr[j]==1) {
                order[j] = ((2*unorder[j-1])%m+1)%m;
            }else{
                order[j] = ((2*unorder[j-1])%m+2*arr[j]+order[j-1])%m;
            }
        }
        printf("%d\n", order[n]);
    }
    return 0;
}