#斜率优化，单调队列#洛谷 2120 BZOJ 1096 仓库建设

题目

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分析

dp方程显然是
$$dp[i]=\min \{dp[j]+\sum _{k=j+1}^{i}p[k](x[i]-x[k])\}+c[i]$$
考虑维护$p[i]x[i],p[i]$的前缀和$s,sum$，那么式子可以化成
$$dp[i]=\min \{dp[j]+x[i](sum[i]-sum[j])-(s[i]-s[j])\}$$
若$k(j<k)$更优于$j$，那么
$$dp[j]+x[i](sum[i]-sum[j])-(s[i]-s[j])>dp[k]+x[i](sum[i]-sum[k])-(s[i]-s[k])$$
那么简化可以得到
$$dp[j]-x[i]sum[j]+s[j]>dp[k]-x[i]sum[k]+s[k]$$
那么$$dp[k]-x[i]sum[k]+s[k]<dp[j]-x[i]sum[j]+s[j]$$
$$\frac{dp[k]-dp[j]+s[k]-s[j]}{sum[k]-sum[j]}<x[i]$$
由于距离是单调递增的，所以维护下凸壳

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代码

#include 
#include 
#define rr register
using namespace std;
const int N=1000001;
int n,dis[N],q[N],c[N]; long long sum[N],s[N],dp[N];
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
inline double slope(int j,int k){
	return 1.0*(dp[k]+sum[k]-dp[j]-sum[j])/(s[k]-s[j]);
}
signed main(){
	n=iut();
	for (rr int i=1;i<=n;++i){
		dis[i]=iut(),sum[i]=iut(),c[i]=iut(),
		s[i]=s[i-1]+sum[i],sum[i]=sum[i-1]+sum[i]*dis[i];
	}
	rr int head=1,tail=0; q[++tail]=0;
	for (rr int i=1;i<=n;++i){
		while (head<tail&&slope(q[head],q[head+1])<dis[i]) ++head;
		dp[i]=dp[q[head]]+c[i]+(s[i]-s[q[head]])*dis[i]-sum[i]+sum[q[head]];
		while (head<tail&&slope(q[tail-1],q[tail])>slope(q[tail],i)) --tail;
		q[++tail]=i; 
	}
	return !printf("%lld",dp[n]);
}