算法班笔记 第四章 BFS 与拓扑排序

第四章 BFS与拓扑排序

什么是队列（Queue）

队列（queue）是一种采用先进先出（FIFO，first in first out）策略的抽象数据结构。比如生活中排队，总是按照先来的先服务，后来的后服务。队列在数据结构中举足轻重，其在算法中应用广泛，最常用的就是在宽度优先搜索(BFS）中，记录待扩展的节点。

队列内部存储元素的方式，一般有两种，数组（array）和链表（linked list）。两者的最主要区别是：

• 数组对随机访问有较好性能。
• 链表对插入和删除元素有较好性能。

C++中，使用中的queue模板类，模板需两个参数，元素类型和容器类型，元素类型必要，而容器类型可选，默认deque，可改用list（链表）类型。

如何自己用数组实现一个队列？

队列的主要操作有：

• push()队尾追加元素
• front()弹出队首元素
• size()返回队列长度
• empty()判断队列为空

 参考：https://blog.csdn.net/myloveqingmu/article/details/57084573

 

什么是接口 （Interface）

接口描述了类的行为和功能，而不需要完成类的特定实现。

C++ 接口是使用抽象类来实现的，抽象类与数据抽象互不混淆，数据抽象是一个把实现细节与相关的数据分离开的概念。

如果类中至少有一个函数被声明为纯虚函数，则这个类就是抽象类。

设计抽象类（通常称为 ABC）的目的，是为了给其他类提供一个可以继承的适当的基类。抽象类不能被用于实例化对象，它只能作为接口使用。如果试图实例化一个抽象类的对象，会导致编译错误。

因此，如果一个 ABC 的子类需要被实例化，则必须实现每个虚函数，这也意味着 C++ 支持使用 ABC 声明接口。如果没有在派生类中重载纯虚函数，就尝试实例化该类的对象，会导致编译错误。

可用于实例化对象的类被称为具体类。

 

有哪些面试常用的 接口

1. Set

注重独一无二,该体系集合可以知道某物是否已经存在于集合中,不会存储重复的元素。Set的实现类在面试中常用的是：

set:

• 无重复数据
• 不能有空数据
• 数据有序

unordered_set:

• 无重复数据
• 可以有空数据
• 数据无序

 

2. Map

Map用于存储具有映射关系的数据。Map中存了两组数据(key与value),它们都可以是任何引用类型的数据，key不能重复，我们可以通过key取到对应的value。Map的实现类在面试中常用是：

map:

• key 无重复，value 允许重复
• 不允许有null
• 有序(存入元素的时候对元素进行自动排序，迭代输出的时候就按排序顺序输出)

unordered_map:

• key 无重复，value 允许重复
• 允许 key 和 value 为空
• 数据无序

 

3. List

一个 List 是一个元素有序的、可以重复(这一点与Set和Map不同)、可以为 null 的集合，List的实现类在面试中常用是：list 和 vector

List:

• 基于链表实现

Vector:

• 基于动态数组实现

List与 Vector对比：

• 对于随机访问get和set，Vector绝对优于List，因为List要移动指针
• 对于新增和删除操作add和remove，List比较占优势，因为Vector要移动数据

 

4. Queue

队列是一种比较重要的数据结构，它支持FIFO(First in First out)，即尾部添加、头部删除（先进队列的元素先出队列），跟我们生活中的排队类似。

 

什么时候使用宽搜

• priority_queue
  • 基于堆(heap)实现
  • 非FIFO(最先出队列的是优先级最高的元素)
• List
  • 基于链表实现
  • FIFO

图的遍历 Traversal in Graph

图的遍历，比如给出无向连通图(Undirected Connected Graph)中的一个点，找到这个图里的所有点。这就是一个常见的场景。
LintCode 上的 Clone Graph 就是一个典型的练习题。

更细一点的划分的话，这一类的问题还可以分为：

 

层级遍历，也就是说我不仅仅需要知道从一个点出发可以到达哪些点，还需要知道这些点，分别离出发点是第几层遇到的，比如 Binary Tree Level Order Traversal  time: O(N),  space: O(N)就是一个典型的练习题。

由点及面，前面已经提到。

拓扑排序，让我们在后一节中展开描述。

 

最短路径 Shortest Path in Simple Graph

最短路径算法有很多种，BFS 是其中一种，但是他有特殊的使用场景，即必须是在简单图中求最短路径。
大部分简单图中使用 BFS 算法时，都是无向图。当然也有可能是有向图，但是在面试中极少会出现。

 

• 层级遍历 Level Order Traversal
• 由点及面 Connected Component
• 拓扑排序 Topological Sorting

什么是简单图（Simple Graph）？

即，图中每条边长度都是1（或边长都相同）。

 

 

图上的宽度优先搜索

BFS 大部分的时候是在图上进行的。

什么是图（Graph）

图在离线数据中的表示方法为 ，E表示 Edge，V 表示 Vertex。也就是说，图是顶点（Vertex）和边（Edge）的集合。

二叉树的BFS vs 图的BFS 

二叉树中进行 BFS 和图中进行 BFS 最大的区别就是二叉树中无需使用 unordered_map 来存储访问过的节点（丢进过 queue 里的节点）
因为二叉树这种数据结构，上下层关系分明，没有环（circle），所以不可能出现一个节点的儿子的儿子是自己的情况。
但是在图中，一个节点的邻居的邻居就可能是自己了。 

 

如何定义一个图的数据结构？ 

邻接表 (Adjacent List)

[[1],[0,2,3],[1],[1]]

这个图表示 0 和 1 之间有连边，1 和 2 之间有连边，1 和 3 之间有连边。即每个点上存储自己有哪些邻居（有哪些连通的点）。
这种方式下，空间耗费和边数成正比，可以记做 O(m)，m代表边数。m最坏情况下虽然也是 O(n^2)，但是邻接表的存储方式大部分情况下会比邻接矩阵更省空间。

自定义邻接表

可以用自定义的类来实现邻接表

class DirectedGraphNode {
    int label;
    vector neighbors;
    ...
}

其中 neighbors 表示和该点连通的点有哪些。

使用 Map 和 Set（面试时）

也可以使用 HashMap 和 HashSet 搭配的方式来存储邻接表

unordered_map> = new unordered_map>();

其中 T 代表节点类型。通常可能是整数(Integer)。
这种方式虽然没有上面的方式更加直观和容易理解，但是在面试中比较节约代码量。

 

拓扑排序

定义

在图论中，由一个有向无环图的顶点组成的序列，当且仅当满足下列条件时，称为该图的一个拓扑排序（英语：Topological sorting）。

• 每个顶点出现且只出现一次；
• 若A在序列中排在B的前面，则在图中不存在从B到A的路径。

也可以定义为：拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序，它使得如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序中B出现在A的后面。

确切的说，一张图的拓扑序列可以有很多个，也可能没有。拓扑排序只需要找到其中一个序列，无需找到所有序列。

 

算法流程

拓扑排序的算法是典型的宽度优先搜索算法，其大致流程如下：

1. 统计所有点的入度，并初始化拓扑序列为空。
2. 将所有入度为 0 的点，也就是那些没有任何依赖的点，放到宽度优先搜索的队列中
3. 将队列中的点一个一个的释放出来，放到拓扑序列中，每次释放出某个点 A 的时候，就访问 A 的相邻点（所有A指向的点），并把这些点的入度减去 1。
4. 如果发现某个点的入度被减去 1 之后变成了 0，则放入队列中。
5. 直到队列为空时，算法结束，

拓扑排序时间复杂度：
O(n+m)。
每个顶点只入栈一次，出栈一次，所以是n次。每个点会更新与它相关的边，每条边被考虑一次。所以总共是m次。

 

宽度优先搜索的模板 

什么时候需要分层遍历？

1. 如果问题需要你区分开不同层级的结果信息，如 二叉树的分层遍历 Binary Tree Level Order Traversal
2. 简单图最短路径问题，如 单词接龙 Word Ladder

无需分层遍历的宽度优先搜索 

需要分层遍历的宽度搜先搜索

使用两个队列的BFS实现

我们可以将当前层的所有节点存在第一个队列中，然后拓展（Extend）出的下一层节点存在另外一个队列中。来回迭代，逐层展开。这个方法更能体现BFS分层的效果

Queue queue1 = new LinkedList<>();
Queue queue2 = new LinkedList<>();
queue1.offer(startNode);
int currentLevel = 0;

while (!queue1.isEmpty()) {
   int size = queue1.size();
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        T head = queue1.poll();
        for (all neighbors of head) {
            queue2.offer(neighbor);
        }
    }
    Queue temp = queue1;
    queue1 = queue2;
    queue2 = temp;

    queue2.clear();
    currentLevel++;
}

双向宽度优先搜索算法

双向宽度优先搜索 (Bidirectional BFS) 算法适用于如下的场景：

1. 无向图
2. 所有边的长度都为 1 或者长度都一样
3. 同时给出了起点和终点

以上 3 个条件都满足的时候，可以使用双向宽度优先搜索来求出起点和终点的最短距离。

算法描述

双向宽度优先搜索本质上还是BFS，只不过变成了起点向终点和终点向起点同时进行扩展，直至两个方向上出现同一个子节点，搜索结束。我们还是可以利用队列来实现：一个队列保存从起点开始搜索的状态，另一个保存从终点开始的状态，两边如果相交了，那么搜索结束。起点到终点的最短距离即为起点到相交节点的距离与终点到相交节点的距离之和。

Q.双向BFS是否真的能提高效率？
假设单向BFS需要搜索 N 层才能到达终点，每层的判断量为 X，那么总的运算量为X ^ N. 如果换成是双向BFS，前后各自需要搜索 N / 2 层，总运算量为 2 * X ^ {N / 2}。如果 N 比较大且X 不为 1，则运算量相较于单向BFS可以大大减少，差不多可以减少到原来规模的根号的量级。

如果在面试中被问到了如何优化 BFS 的问题，Bidirectional BFS 几乎就是标准答案了。

/**
 * Definition for graph node.
 * class UndirectedGraphNode {
 *     int label;
 *     ArrayList neighbors;
 *     UndirectedGraphNode(int x) { 
 *         label = x; neighbors = new ArrayList(); 
 *     }
 * };
 */
public int doubleBFS(UndirectedGraphNode start, UndirectedGraphNode end) {
    if (start.equals(end)) {
        return 1;
    }
    // 起点开始的BFS队列
    Queue startQueue = new LinkedList<>();
    // 终点开始的BFS队列
    Queue endQueue = new LinkedList<>();
    startQueue.add(start);
    endQueue.add(end);
    int step = 0;
    // 记录从起点开始访问到的节点
    Set startVisited = new HashSet<>();
    // 记录从终点开始访问到的节点
    Set endVisited = new HashSet<>();
    startVisited.add(start);
    endVisited.add(end);
    while (!startQueue.isEmpty() || !endQueue.isEmpty()) {
        int startSize = startQueue.size();
        int endSize = endQueue.size();
        // 按层遍历
        step ++;
        for (int i = 0; i < startSize; i ++) {
            UndirectedGraphNode cur = startQueue.poll();
            for (UndirectedGraphNode neighbor : cur.neighbors) {
                if (startVisited.contains(neighbor)) {//重复节点
                    continue;
                } else if (endVisited.contains(neighbor)) {//相交
                    return step;
                } else {
                    startVisited.add(neighbor);
                    startQueue.add(neighbor);
                }
            }
        }
        step ++;
        for (int i = 0; i < endSize; i ++) {
            UndirectedGraphNode cur = endQueue.poll();
            for (UndirectedGraphNode neighbor : cur.neighbors) {
                if (endVisited.contains(neighbor)) {
                    continue;
                } else if (startVisited.contains(neighbor)) {
                    return step;
                } else {
                    endVisited.add(neighbor);
                    endQueue.add(neighbor);
                }
            }
        }    
    }
    return -1; // 不连通
}