manacher算法

ACM退役很久了， 不过仍然喜欢解决一些很酷的算法。

至此之后， 这里将会是一个纯净的算法讨论阵地， 和比赛无关， 但是希望能将算法的原理和做法讲解明白。

很后悔在做ACM的时候没有这么做。

博客推荐这个， 可以很快了解一下这个算法的做法：点击打开链接

那么我还是简单说一下。

我们从左往右扫描字符串枚举中点。算法维护了一个最右边的点，  这个是当前存在的回文串的最右边能到达的地方。

还维护了以每个点为中点的最长回文长度。我们分i和MaxRight的大小关系来进行判断， 上边博客说的很清楚了。我这里主要说一下时间复杂度的证明。

首先很明显， 这么做是肯定能求出最长回文的。但是时间复杂度为何是线性的呢。

首先如果i > MaxRight，那么在计算RL[i]的时候，这个MaxRight也会更新，也就是说，这时while循环等于用来移动了MaxRight，那么肯定是线性的。

那么如果i < MaxRight呢， 首先我们用与i对称位置的j的RL[j]避免计算了很大一部分重复的地方，如果此时更新RL[i]之后，RL[i]等于MaxRight了，那么情况和上面相同，这时while循环等于用来更新MaxRight，   但是如果RL[i]=RL[2*pos-i]，说明其对称位置的j是一个很小的回文串，因为i所在部分和j所在部分是对称的，所以这时i也是不可能扩展的了（除非此时RL[i] == MaxRight，即RL[2*pos-i] == MaxRight-i）。

例题：点击打开链接

代码如下：

class Solution {
public:
    /*
     * @param s: input string
     * @return: the longest palindromic substring
     */

    string longestPalindrome(string &s) {
        // Write your code here
        static const int maxn = 2000 + 10;
        static int RL[maxn];
        string str = "";
        str += '#';
        for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
            str += s[i];
            str += '#';
        }

        memset(RL, 0, sizeof(RL));
        int MaxRight = 0;
        int MaxLen = 0;
        int pos = 0;
        int ans = 0;
        int StrLen = str.size();
        for (int i = 0; i < StrLen; ++i) {
            if (i < MaxRight) {
                RL[i] = min(RL[2*pos-i], MaxRight - i);
            }
            else {
                RL[i] = 1;
            }

            while(i - RL[i] >= 0 && i + RL[i] < StrLen
                  && str[i - RL[i]] == str[i + RL[i]]) {
                RL[i] += 1;
            }
            if (RL[i]+i-1 > MaxRight) {
                MaxRight = RL[i]+i-1;
                pos = i;
            }
            if (MaxLen < RL[i]) {
                MaxLen = RL[i];
                ans = i;
            }
        }
        string res = "";
        for (int i = ans - RL[ans] + 1; i < ans + RL[ans]; ++i) {
            if (str[i] != '#') {
                res += str[i];
            }
        }
        return res;
    }
};