快速幂讲解（java版）

参考链接：快速幂讲解

  快速幂这个东西比较好理解，但实现起来到不老好办，记了几次老是忘，今天把它系统的总结一下防止忘记。
  首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(log n)，快了好多好多。它的原理如下：
  假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b=11时：
$$a^{11}=a^{(2^0+2^1+2^3)}$$
  11的二进制是1011，$11=2^3\ast 1+2^2\ast 0+2^1\ast 1+2^0\ast 1$，因此，我们将a¹¹转化为算$a^{2^0}\ast a^{2^1}\ast a^{2^3}$，也就是$a^1\ast a^2\ast a^8$ ，看出来快的多了吧。原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子……不急，下面会有详细解释。
  由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具：&和>>。
  &运算通常用于二进制取位操作。例如一个数x & 1的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x & 1 == 0为偶，x & 1 == 1为奇。
  >>运算比较单纯，二进制去掉最后一位。不多说了，先放代码再解释。

//快速幂：求a^b
public static int pow_num(int a, int b) {
    if (a == 0) {
        return 0;
    }
    int ans = 1;
    while (b != 0) {
        if ((b & 1) != 0) {
            ans *= a;
        }
        b >>= 1;
        a *= a;
    }
    return ans;
}

  代码很短，死记也可行，但最好还是理解一下吧.其实也很好理解，以b == 11为例，b=1011₂，二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 $a^{2^0}\ast a^{2^1}\ast a^{2^3}$，是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。
  其中要理解base *= base这一步：因为 base*base == base^2，下一步再乘，就是base^2 * base^2 == base^4，然后同理base^4 * base^4 == base^8，由此可以做到base–>base²–>base⁴–>base⁸–>base¹⁶–>base³²……指数正是 2ⁱ，再看上面的例子，$a^{11}=a^1\ast a^2\ast a^8$，这三项就可以完美解决了，快速幂就是这样。
  顺便啰嗦一句，由于指数函数是爆炸增长的函数，所以很有可能会爆掉int的范围，根据题意选择什么数据类型就自己看着办。