LeetCode: 410. 分割数组的最大值

给定一个非负整数数组和一个整数 m，你需要将这个数组分成 m 个非空的连续子数组。设计一个算法使得这 m 个子数组各自和的最大值最小。

注意:
数组长度 n 满足以下条件:

1 ≤ n ≤ 1000
1 ≤ m ≤ min(50, n)
示例:

输入:
nums = [7,2,5,10,8]
m = 2

输出:
18

解释:
一共有四种方法将nums分割为2个子数组。
其中最好的方式是将其分为[7,2,5] 和 [10,8]，
因为此时这两个子数组各自的和的最大值为18，在所有情况中最小。

分析：

       据题解所说，“将数组分为m段，求……”是动态规划题目常见的问法。（P.s.我怎么觉得不常见，枯了）

       既然是动态规划，那么定义数组很重要。令f[i][j]表示将数组的前i个数分割为j段所能得到的最大连续子数组的和的最小值。（就是这么拗口！）那么状态转移方程，我们考虑f[i][j]，枚举k，其中将前k个数分为j - 1段，第k个数到第i个数分为最后一段。（即我们不断枚举最后一个连续子数组的长度，前面的j - 1个数组看为一个整体）。那么这j个数组的最大值就是f[k][j - 1]与sub(k + 1, i)的最大值，其中sub(i, j)表示第i个数累加到第j个数的和。状态转移方程可以写成下面的形式：

       需要注意的是，对于f[i][j]，只有i >= j时才是合法的状态。如果不合法，我们可以把f[i][j]的初始值设为一个很大的值，这样经过max后再经过min，就不会对结果产生影响。

       还有我们需要考虑一下初值，根据上面的状态转移方程，如果j = 1，那么会在f[k][j - 1]，也就是f[k][0]中进行比较，如果k = 0，那它是个合法的状态，根据数组定义，我们令其为0；如果k ！= 0，那么就是一个不合法的状态，通过我们设置的很大的值可以将其滤过去。所以我们要设置f[0][0] = 0。

       这个题最难的地方个人感觉还是数组的定义，如果不能确定数组的含义，那么状态转移方程也是写不下去的。把一个数组划分成m个子数组，看着是一个很棘手的问题。但是我们可以通过得到前面j - 1个数组的最大值，枚举最后一个连续子数组的长度，实质上就是简化成了两个子数组的问题。化繁为简，这种思想还是很重要的。

class Solution {
public:
    int splitArray(vector& nums, int m) {
        int n = nums.size();
        vector> f(n + 1, vector(m + 1, LLONG_MAX));
        vector sub(n + 1, 0);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sub[i + 1] = sub[i] + nums[i];
        }
        f[0][0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= min(i, m); j++) {
                for (int k = 0; k < i; k++) {
                    f[i][j] = min(f[i][j], max(f[k][j - 1], sub[i] - sub[k]));
                }
            }
        }
        return (int)f[n][m];
    }
};