树状数组求逆序数讲解

树状数组求逆序对

树状数组可以用nlogn的算法做到求出逆序对.但这里着重讲树状数组的原理与求法.
树状数组最常用的方面就是用来求逆序对, 普通方法需要n^2的复杂度, 而树状数组只需要用nlogn的复杂度, 所以是很好的优化,

关键在于内部函数lowbit的应用.
下面是树状数组的结构图 :

 

 

 
当数据的范围较小时，比如maxn=100000，那么我们可以开一个数组c[maxn],来记录前面数据的出现情况，初始化为0；当数据a出现时，就令c[a]=1。这样的话，欲求某个数a的逆序数，只需要算出在当前状态下c[a+1,maxn]中有多少个1，因为这些位置的数在a之前出现且比a大。但是若每添加一个数据a时，就得从a+1到 maxn搜一遍，复杂度太高了。树状数组却能很好的解决这个问题，可以把数一个个插入到树状数组中， 每插入一个数， 统计比他小的数的个数，对应的逆序为 i - getsum( c[i] )，其中 i 为当前已经插入的数的个数， getsum( c[i] ）为比 c[i] 小的数的个数，i- getsum( c[i] ) 即比c[i] 大的个数， 即逆序的个数。最后需要把所有逆序数求和，就是在插入的过程中边插入边求和.

举个例子：有5个数，分别为5 3 4 2 1，当读入数据a=5时，c为：0，0，0，0，1；d为：0，0，0，0，1；当读入数据a=3时，c为：0，0，1，0，1；d为：0，0 ， 1，1，1；当读入数据a=4时，c为：0，0，1，1，1；d为：0，0，1，2，1；
此思想的关键在于，读入数据的最大值为maxn，由于maxn较小，所以可以用数组来记录状态。当maxn较大时，直接开数组显然是不行了，这是的解决办法就是离散化。所谓离散化，就是将连续问题的解用一组离散要素来表征而近似求解的方法，这个定义太抽象了，还是举个例子吧。

     离散化具体讲解： https://blog.csdn.net/S_999999/article/details/99080549
　　 假如现在有一些数：1234 98756 123456 99999 56782,由于1234是第一小的数，所以num[1]=1;依此，有                 num[5]=2,num[2]=3,num[4]=4,num[3]=5;这样转化后并不影响原来数据的相对大小关系，何乐而不为呢！！！
还有一点值得注意，当有数据0出现时，由于0&0=0，无法更新，此时我们可以采取加一个数的方法将所有的数据都变成大于0的.

 例题: HDU 4917 https://blog.csdn.net/S_999999/article/details/99081624