小白学习动态规划（1）

动态规划：利用与分治递归相似的方法。但是由于分治递归要进栈出栈，并且有一些重复的运算，因此耗费时间和空间，利用动态规划主要有两个步骤，一是找到状态，将大问题转化为许多个子问题，二是找到这些子问题之间的状态转移方程，就可以从底端到顶端递推解决问题。

1.最简单的硬币问题。
给定三种硬币1、3、5，然后任意给一个价格n，要求输出用这三种硬币组合成该价格所需的最少硬币数。
子问题（即状态）显然指的是从0到价格n的每种价格所需的最少硬币数，记每种状态为min[i]，现在寻找状态转移方程，我们将货币值储存在数组里面，Money[3]={1,3,5},那么状态转移方程的代码如下：

for(int j=0;j<3;j++)
{
if (Money[j] <= i&&(min[i - Money[j]] + 1 < min[i]||min[i]==0)) min[i] = min[i - Money[j]] + 1;
}

这道题的代码如下:

#include 
using namespace std;
int main()
{
int Money[3] = { 1,3,5 }, min[100] = {}, n;
cin >> n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<3;j++)
{
if (Money[j] <= i&&(min[i - Money[j]] + 1 < min[i]||min[i]==0)) min[i] = min[i - Money[j]] + 1;
}
}
cout << min[n] << endl;
system("pause");
return 0;
}

2.最长递增子序列问题：给定一个数列，将其中的若干项按照原来的排列顺序组成的一个新数列叫做子序列，求严格递增的子序列的最大长度。
这道题主要是状态不好找，如果记原数列为num[n],记以num[i]结尾的严格递增子序列的最大长度为maxlen[i]那么我们要找的max是maxlen[i]中的最大值。
那么，如何寻找maxlen[i]的状态转移方程呢？
我们遍历maxlen[0]到maxlen[i-1]，寻找这样一个j,满足maxlen[j]+1>maxlen[i] 而且num[j] < num[i]，而且j是满足该条件的最优解（即maxlen[j]最大）。

#include 
using namespace std;
int main()
{
int num[50] = {}, maxlen[50] = {}, n, max = 0;
cin >> n;//先输入n
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> num[i];//再输入数列
for (int i = 0; i < n; i++)
{
maxlen[i] = 1;//初始化为1（因为单独一项也是满足递增子序列的）
for (int j = 0; j <= i; j++)
{
if (num[j] < num[i] && maxlen[j] + 1 > maxlen[i]) maxlen[i] = maxlen[j] + 1;
}
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (maxlen[i] > max) max = maxlen[i];
}
cout << max;
system("pause");
return 0;
}

以上就是动态规划的最基本的方法，当然，博主是一个刚刚学习编程半年的小白，方法和描述还有许多不科学的地方，关于动态规划更多的例子将在后面几天给出，如果有更好的想法欢迎在评论区交流~~~