整数拆分问题

【问题描述】：
求将正整数n无序拆分成最大数为k的拆分方案个数，要求所有的拆分方案不重复。
【问题求解】：
n = 5, k = 5, 对应的拆分方案如下：
5 = 5
5 = 4 +１
5 = 3 + 2
5 = 3 + 1 + 1
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 1 + 1

一、递归法
根据n和m的关系，考虑下面几种情况：
（1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0），只有一种划分，即{1}；
（2）当m=1时，不论n的值为多少（n>0），只有一种划分，即{1,1,…1,1,1}；
（3）当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
（a）划分中包含n的情况，只有一个，即{n}；
（b）划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有（n-1）划分；
因此，f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)。
（4）当n （5）当n>m时，根据划分中是否包含m，可以分为两种情况：
（a）划分中包含m的情况，即{m,{x1,x2,x3,…,xi}}，其中{x1,x2,x3,…,xi}的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m)；
（b）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的（m-1）划分，个数为f(n, m - 1)；
因此，f(n,m) = f(n - m,m) + f(n, m - 1)。

def GetPartitionCount(n,m):
    if n == 1 or m == 1:
        return 1
    elif n < m:
        return GetPartitionCount(n,n)
    elif n == m:
        return 1 + GetPartitionCount(n,n-1)
    else:
        return GetPartitionCount(n-m,m) + GetPartitionCount(n,m-1)

二、动态规划

def GetPartitionCount(n,m):
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,m+1):
            if j == 1 or i == 1:
                dp[i][j] = 1
            elif i == j:
                dp[i][j] = dp[i][j-1]+1
            elif i<j:
                dp[i][j]=dp[i][i]
            else:
                dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]
    return dp[n][m]

三、给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

def integerBreak(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 1
    else:
        dp = [0 for _ in range(n+1)]
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1
        dp[2] = 1
        for i in range(3,n+1):
            tmp = 0
            for j in range(1,i):
                tmp = max(tmp,max(j * dp[i - j],j*(i-j)))
            dp[i] = tmp
        return dp[n],dp