【XSY2727】Remove Dilworth定理 堆 树状数组 DP

题目描述

　　一个二维平面上有 n 个梯形，满足：

　　　所有梯形的下底边在直线 y=0 上。

　　　所有梯形的上底边在直线 y=1 上。

　　　没有两个点的坐标相同。

　　你一次可以选择任意多个梯形，必须满足这些梯形两两重叠，然后删掉这些梯形。

　　问你最少几次可以删掉所有梯形。

　　 n≤105

题解

　　先把坐标离散化。

　　定义 A 为所有梯形组成的集合。

　　我们定义 A 上的严格偏序：两个梯形 a<b 当且仅当 a 与 b 不重叠且 a 在 b 的左边。

　　那么每次删掉的矩形就是一条反链。

　　所以这道题求的是最小反链覆盖。

　　根据Dilworth定理的对偶定理，有：最小反链覆盖数 = 最长链长度

　　所以我们只用求最长链长度就好了。

　　这个东西可以DP做。

fi=maxa12j<a11i,a22j<a21ifj+1

　　 a11,a12,a21,a22 分别代表一个梯形的上底边的两个端点的横坐标，下底边的两个端点的横坐标

　　可以把所有梯形按 a11 排序，维护一个以 a12 为关键字的堆，把队中的元素取出以 a22 位置， fj 为值插入到树状数组中，然后在树状数组中查询答案。

　　时间复杂度： O(nlogn)

代码

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
priority_queuevector,greater > q;
struct p
{
    int a11,a12,a21,a22;
};
p a[100010];
int cmp(p a,p b)
{
    return a.a11int f[100010];
int c[100010];
int m=0;
int d[200010];
void add(int x,int v)
{
    for(;x<=m;x+=x&-x)
        c[x]=max(c[x],v);
}
int query(int x)
{
    int s=0;
    for(;x;x-=x&-x)
        s=max(s,c[x]);
    return s;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("b.in","r",stdin);
    freopen("b.out","w",stdout);
#endif
    int n,i;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&a[i].a11,&a[i].a12,&a[i].a21,&a[i].a22);
        d[++m]=a[i].a21;
        d[++m]=a[i].a22;
    }
    sort(d+1,d+m+1);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i].a21=lower_bound(d+1,d+m+1,a[i].a21)-d;
        a[i].a22=lower_bound(d+1,d+m+1,a[i].a22)-d;
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    int ans=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        q.push(pii(a[i].a12,i));
        while(!q.empty()&&q.top().first1;
        ans=max(ans,f[i]);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}