洛谷P1020(dp）

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1020

题意：

让你维护一个非升的序列和一个单调升序的序列

思路：

一个$O(nlogn)$的算法（最长单调上升子序列）

首先：

对一个有序的序列
$lower\_bound(begin,end,key)-b[]:在begin到end-1中，查找到第一个大于等于key的数字的位置$
$upper\_bound(begin,end,key)-b[]:在begin到end-1中，查找到第一个大于key的数字的位置$
$lower\_bound(begin,end,key,greater<int>())-b[]:在begin到end-1中，查找到第一个小于等于key的数字的位置$
$upper\_bound(begin,end,key,greater<int>())-b[]:在begin到end-1中，查找到第一个小于key的数字的位置$
$lower\_bound和upper\_bound只有一个等于的差别$

然后：

对于一组数，当我们已经遍历到$i$的时候，我们已经得到了一个最长的子序列$b[len]=x_1,x_2...x_{len}$，如果 $a[i]>b[len]$,那么乐意直接$b[++len]=a[i]$，如果$a[i]\le b[len]$,那我们可以通过修改$b$中第一个大于等于$a[i]$的数字来使得$b$数组更有竞争力，
$b[lower\_bound(b+1,b+1+len,a[i])-b]=a[i]$,这样我们持续更新这个$b$数组，就可以得到一个最长上升子序列
为什么是$lower\_bound？$
因为是单调上升，所以不存在有相同的元素，所以可以修改$b$中的相同元素,
而如果是不单调的话，那么就不用修改相同的元素，就用$upper\_bound$
代码：

b[1] = h[0];
len = 1;
 for (int i = 1; i < cnt; i ++) {
     if(h[i] > b[len]) b[++len] = h[i];
     else {
         int pos = lower_bound(b+1, b+1+len, h[i]) - b;
         b[pos] = h[i];
     }
 }

最长非升子序列:
与最长上升同理，我们只需要修改查找规则，因为是非升所以不用修改相同的元素,所以用$upper\_bound$

b[1] = h[0];
int len = 1;
for (int i = 1; i < cnt; i ++) {
    if(h[i] <= b[len]) b[++len] = h[i];
    else {
        int pos = upper_bound(b+1, b+1+len, h[i], greater<int>()) - b;
        b[pos] = h[i];
    }
}

AC代码：

#include

using namespace std;

#define LL long long
const int maxn = 1e5 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int Mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-8;
typedef pair<int, int> psi;

void fre() {
    if(freopen("洛谷P1020.txt", "r", stdin) == NULL)
        system("touch 洛谷P1020.txt");
    freopen("洛谷P1020.txt", "r", stdin);
}

int h[maxn];
int dp[maxn], b[maxn];

int main(int argc, char *args[]) {
    fre();
    int cnt = 0, x;
    while(scanf("%d", &x) != EOF) {
        h[cnt++] = x;
    } 
    b[1] = h[0];
    int len = 1;
    for (int i = 1; i < cnt; i ++) {
        if(h[i] <= b[len]) b[++len] = h[i];
        else {
            int pos = upper_bound(b+1, b+1+len, h[i], greater<int>()) - b;
            b[pos] = h[i];
        }
    }
    printf("%d\n", len);
    b[1] = h[0];
    len = 1;
    for (int i = 1; i < cnt; i ++) {
        if(h[i] > b[len]) b[++len] = h[i];
        else {
            int pos = lower_bound(b+1, b+1+len, h[i]) - b;
            b[pos] = h[i];
        }
    }
    printf("%d\n", len);
    return 0;
}