用“牛顿迭代法”求根号2的近似值

一、提出问题，引入新课

1、作为高中生，大家都知道根号2的近似值是1.414，这是应该记住的常数，可你知不知道如何去求这个近似值呢？（提出问题，激发兴趣，开阔思路，启迪思维，导入新课）

2、学生回答：有学生说用二分法，有学生说逐步必近（因为无法显示，故用同音字替代），但追问如何二分，如何必近，就没有下文了。（在这里主要是让学生认识到不能机械的对书本上的知识采用“拿来主义”，老师说根号2是1.414，就是1.414，要有自己的疑问和思考，不能作知识的奴隶，要作知识的主人。）

3、介绍一种可Cao作的方法

    这里提供一种可Cao作的方法：制作一个直角边为1米的等腰直角三角形（为什么要1米呢？），根据勾股定理，斜边的长度应该是根号2米，然后量出斜边的长度即可得到根号2的大小，如果测量准确的话，斜边长大约为1414毫米＝1.414米，即根号2约等于1.414。当然这么做，在理论上是可行的，但在实际cao作时难度较大，因为要保证制作的等腰直角三角形的那个直角为90度，不是容易的事情，如果有一点偏差，则测量斜边长度的误差就比较大了，从而得不到正确的结果。

4、引入新课

    今天，我们要采用牛顿的“迭代法”，用循环来解决这个问题，而且还可以调控其计算精度。（利用“牛顿”的名人效应，增强学生对这个方法的期待和认同，同时板书：用牛顿的迭代法求根号2的近似值）

二、新课教学

（一）、请同学们思考一下：“迭代”这个词从字面上来看是什么意思？

（学生回答基本正确。）

    根据学生回答加以总结：“迭”就是重复、反复的意思，“代”是代入、代换的意思。所以“迭代”就是一种不断代换的作，即不断用新的数据替换旧的数据，以达到自己的目的。正是因为要重复的代换，所以会用循环来实现“迭代”的算法思想，并用这种思想来求出根号2的近似值。（通过对“迭代”词语的解释，让学生对“迭代法”有个大致的了解。）

（二）、迭代原理介绍

    通过下面的步骤叙述，我们来体验用迭代法求根号2的原理。

    第一步：构造求根号2的函数f(x)=x*x-2，令f(x)＝0，则根号2是其中的一个正根，也就是函数f(x)与x轴的其中一个交点。

    第二步：选择起始区间（为什么设置这个区间，后面自然明白）

    1、设置根号2的起始区间为[0，2]，并令a=0,b=2（起始区间的选择不是唯一的，只要遵从下面选择区间的原则即可）。

    2、选择区间的原则：

    区间的选取是有原则的，其端点a和b对应的函数值必须遵从f(a)· f(b)<0，即f(a)<0，f(b)> 0（或f(a)>0，f(b)< 0），根据函数连续性的特点，其函数图像必定在此区间与x轴有交点，也即方程f(x)=0在此区间有一个根，而这个根就是根号2（只讨论正根）。按照这个原则选取区间就保证了根号2一定在这个区间内，这个原则也是我们后面取舍区间必须遵从的原则。

    第三步：迭代方法

    迭代要通过循环实现，要构造循环就要找到构造循环的条件。方法是让含根号2的区间[a,b]的两个端点不断的向根号2靠近，当它们之间的距离b-a小于我们预先给定的精度（比如0.00001）时，我们认为a或b的值就可以近似的表示满足精度的根号2的近似值。即：

当达到所要求的精度时，则b-a<＝0.00001，可以用a或b中的任一个作为满足精度的根号2的值。

    当未达到所要求的精度时，则b-a>0.00001，此时先找ab中点的坐标:t=(a+b)/2

    计算中点的函数值：f=t*t-2

    中点t将原来的[a,b]区间一分为二，根据新产生[a,b]区间的两个端点的函数值必须满足f(a)· f(b)<0的原则，舍掉其中的一个区间，保留符合条件的另一个区间，具体的舍取通过下面的判断实现：

    若f=0，则无需代换，中点t即为根号2的值，输出t即可；

    若f<0，执行a=t，相当于a点移动到中点t（如图一所示），此时区间[a,b]缩小为原来的一半；

    若f>0，执行b=t，相当于b点移动到中点t（如图二所示），此时区间[a,b]也缩小为原来的一半。

 

            图一                                    图二

 

    经过上述替换，检查新区间[a,b]的两个端点之间的距离b-a是否达到预先设定的精度要求？若b-a>0.00001，则没有达到要求，还要继续计算中点坐标和对应的函数值，判断函数值情况，将a或b移动到中点产生新的[a,b]区间，并再次检验，经过这样反复的迭代，每次迭代都会去掉一半的区间，而保留下来的[a,b]区间也就越来越小，当b-a<=0.00001时，说明已经符合设定的精度要求，此时输出t即可（为什么输出t即可呢？而不是先前所说用a或b中的任一个作为满足精度的根号2的值呢？可提问学生回答）。