最小费用流bellman-ford算法总结

最小费用流问题是寻找流为F时的最小费用，普通的最大流中边只有流量限制，而在费用流中还加上了费用，为保证过程可逆和正确性残余网络中的负权边是原边费用的相反数，求解此类问题的方法依然是贪心，我们在残余网络上总是沿着最短路增广，这样可以保证在当前流量下，取得最小的费用（权值为费用），一直贪心下去，直到F减为0，这里有一个问题，F能否减到0呢，答案是肯定的，考虑最大流算法，我们总是能从0扩展到任意流（流不大于最大流），相应地，我们总是能从F沿着原路退到0。

以下是最小费用流的实现，因为残余网络中存在负权边，所以使用bellman-ford算法求解最短路。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int MAX_V = 1005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge{
    int to,cap,cost,rev;
    Edge(int t,int c,int co,int r):to(t),cap(c),cost(co),rev(r) {}
};
vector G[MAX_V];
int V;
int prevv[MAX_V],preve[MAX_V];
int dist[MAX_V];

void add_edge(int from,int to,int cap,int cost){
    G[from].push_back( Edge(to,cap,cost,G[to].size()) );
    G[to].push_back( Edge(from,0,-cost,G[from].size()-1) );
}

int min_cost_flow(int s,int t,int f){
    int res = 0;
    while(f>0){
        fill(dist,dist+V,INF);
        dist[s] = 0;
        bool update = true;
        while(update){
            for(int v=0; v0 && dist[e.to] > dist[v] + e.cost){
                        dist[e.to] = dist[v] + e.cost;
                        prevv[e.to] = v;
                        preve[e.to] = i;
                        update = true;
                    }
                }
            }
        }
        if(dist[t] == INF){
            return -1;
        }
        int d = f;
        for(int v = t; v != s; v = prevv[v]){
            d = min( d , G[prevv[v]][preve[v]].cap);
        }
        f -= d;
        res += d * dist[t];
        for(int v = t; v != s; v = prevv[v]){
            Edge &e = G[prevv[v]][preve[v]];
            e.cap -= d;
            G[v][e.rev].cap += d;
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    return 0;
}