树的基本概念以及java实现二叉树

转自 https://blog.csdn.net/qingtian_1993/article/details/80637917

1. 树

1.1 什么是树

树是具有n个结点的有限集合

• 当n=0时，有且仅存在一个结点，该结点称为根结点
• 当n>0时，其余结点分为m个互斥的有限集合T1，T2，T3，每个集合分别称为子树

由此可知，树的定义是一个递归的定义，即树的定义中又用到了树的概念。

1.2 树的结构

	 /**
     * 构造一颗二叉树
     *
     * @param 
     */
    public class Node {
        private int index;
		// 数据项
        private int data;
		// 指向左结点分支
        private Node left;
		// 指向右结点分支
        private Node right;

        public static void main(String[] args) {
		Node head = new Node(1);
		head = new Node(1);
		head.left = new Node(2);
		head.right = new Node(3);
		head.left.left = new Node(4);
		head.right.left = new Node(5);
		head.right.right = new Node(6);
		head.left.left.right = new Node(7);
	    }
    }

1.3 树的基本性质
结点：包含了数据项和指向其他结点的分支.
结点的度：结点所拥有的子树棵树，如上图所示A的度是3，B的度是2，E-J的度都是0。
叶结点&终端结点：即度为0的结点。
分支结点&非终端结点：除了叶结点以外的其他结点。
子女结点：若结点x有子树，则子树的根结点即为结点x的子女。
父结点：若结点x有子女，它即为子女的父结点
根结点：没有父结点的结点称为根结点
兄弟结点：同一父结点的子女互称为兄弟。
祖先结点：从根结点到该结点所经历分支上的所有结点。
子孙结点：某一结点的子女，以及这些子女的子女都是该结点的子孙。
结点所处的层次：从根到该结点所经路径上的分支条数.根结点在第1层，它的子女在第二层。树中任一结点的层次为它的父结点的层次加1。结点所处层次亦称为结点的深度
树的高度：树中节点的最大层次，如上图的高度即为3。
树的度：树中结点的度的最大值。

 

2. 二叉树
2.1 什么是二叉树
二叉树是树的一种特殊形态。二叉树的特点是每个结点最多拥有两个子女（就是不存在度大于2的结点），分别称为左子女和右子女，并且二叉树的子树有左右之分，其子树次序不能颠倒。

2.2 特殊二叉树
2.2.1 斜树
所有结点都只有左子树的叫做左斜树，所有节点都只有右子树的叫做右斜树

2.2.2 满二叉树
满二叉树：深度为k的满二叉树是有2^k-1个结点的二叉树。在满二叉树中，每一层的结点都达到了最大个数。除了最底层的结点度为0外，其他各层结点的度均为2。

2.2.3 完全二叉树
如果一棵具有n个结点的深度为k的二叉树，它的每一个结点都与高度为k的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应，则称其为完全二叉树。其特点是从第一层到k-1层的所有各层的结点数都是满的，仅最下面第k层是满的，或从右向左连续缺若干结点。下图即为一颗完全二叉树。

2.3 二叉树的性质
a、在非空二叉树的第i层上，至多有2^(i-1)个结点
假设这是一棵满二叉树，则1、2、3层分别有1、2、4个结点，满足以上性质

b、深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点
假设这是一棵满二叉树，则4层有15个结点，满足以上的性质

c、对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2，则n0 = n2+1
假设二叉树中度为1的结点数为n1，因为二叉树只有度为1，2，0的结点，所以有n=n0+n1+n2。再看二叉树分支条数e，因为二叉树除了根结点没有父结点，进入它的边数为0之外，其他每一结点都有一个且仅有一个父结点，进入它们的边数均为1，故二叉树中总的边数为e=n-1=n0+n1+n2-1。又由于每个度为2的结点发出2条边，每个度为1的结点发出1条边，每个度为0的结点发出0条边，因此总的边数e=2n2+1n1+0n0=2n2+n1,由以上两式可以得出n0= n2+1。

d、具有n个结点的完全二叉树深度为⌈log2(n+1)⌉，对以2为底n+1对数进行向上取整(⌈⌉是向上取整符号)。

e、如果有一颗有n个结点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的结点i（1<=i<=n）有

如果i=1，则结点是二叉树的根，无双亲，如果i>1，则其双亲结点为⌊i/2⌋，向下取整
如果2i>n那么结点i没有左孩子，否则其左孩子为2i
如果2i+1>n那么结点没有右孩子，否则右孩子为2i+1
若结点i为奇数，且i!=1，它处于右兄弟位置，则它的左兄弟结点i-1
若结点i为偶数，且i!=n，它处于左兄弟位置，则它的右兄弟为结点i+1
结点i所在的层次为⌊log2^i⌋+1
 

3 二叉树的存储方式

3.1 完全二叉树的存储结构：顺序存储

对一棵具有n个结点的完全二叉树按照层次编号，则其存储结构可以顺序存储，如下图所示：

3.2 一般二叉树的存储结构：顺序存储

如图所示，其中红色箭头指向的结点不存在，这是一棵一般二叉树。对这棵树按照完全二叉树的方式编号，不存在的结点设置为空，则其存储结构可以顺序存储，如下图所示：

 

3.3 使用链表来存储二叉树

使用双向链表来存储一棵二叉树，数据结构如下所示：

class TreeNode{

	int data;
	TreeNode leftChild;
	TreeNode rightChild;
}