dp小总结

    动态规划一直都是noip的一个难点，每年都考，即使套路都考烂了你还是做不出来。对于动规如果没有很好的掌握，那还是洗洗睡吧。

    动态规划其实是通过几个部分最优推出全局最优，听起来和贪心差不多，但动规需要满足无后效性，而且贪心不用排序基本做不了，而动规大多数是不排序的，题目中可能会规定数据的顺序不能改变。

    在除了区间dp外，动规的状态基本上都是设置为前i个或者第i个的最优值。然后递推推出当前状态的最优解。下面是几个特殊一点的动规：

1、资源分配类

    状态设置为前i个物品分给前j个机器，别的就没什么好说的，照常递推就好了。

2、背包

a、01背包

    背包其实是资源分配中的一个特殊的情况，和资源分配一样设状态转移方程为：

for(int i=1;i<=n;++i)
   for(int j=w[i];j<=m;++j)
      dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);

    然后因为dp[i][j]只与i-1中j前的状态有关，所以可以将第二层循环倒着来，优化掉一维,代码如下：

for(int i=1;i<=n;++i)
   for(int j=m;j>=w[i];--j)
      dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);

b、完全背包

    完全背包问题中，每个物品都可以选无限次，也就是说当前物品是否选过对后面无影响，所以第二层循环中可以枚举j前的状态进行递推，代码如下：

for(int i=1;i<=n;++i)
   for(int j=w[i];j<=m;++j)
      dp[j]=max(dp[j-w[i]]+v[i],dp[j]);

c、多重背包

    多重背包就是每样物品有一定的数量，然后做背包问题，那么就可以把它转换成01背包来做，只要在01背包中再加一层循环枚举所用物品数量就行了，但三重循环很可能会tle，所以可以用二进制优化一下，代码如下：

int now=1,num=m[k];
	while(now=now*w[k];--i)
		{
			dp[i]=max(dp[i],dp[i-now*w[k]]+now*s[k]);
		}
		num-=now;
		now+=now;
	}
	for(int i=v;i>=num*w[k];--i)
		dp[i]=max(dp[i],dp[i-num*w[k]]+num*s[k]);

d、分组背包

    分组背包是每个小组中取一个物品，只需在递推时再加入一个循环枚举装入哪个物品即可：

for(int i=1;i<=n;++i)
   for(int j=m;j>=0;--j)
      for(int k=1;k<=a[i];++k)
       if(j>=w[k]) dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);

3、区间

    区间dp中状态的设置与其他的不同，dp[i][j]表示i到j的最优解，递推的时候枚举子区间来更新当前区间的最优解,代码如下：

for(int len=2;len<=n;++len)
   for(int i=1;i<=n-len+1;++i)
   {
    int j=i+len-1;
    for(int k=i;k<=j;++k)
        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
   }