最短路算法（Dijkstra、SPFA、Floyd，vector存边和链式向前星存边）

最短路

$\bullet$在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？

Input

输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。

Output

对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间

Sample Input

2 1
1 2 3
3 3
1 2 5
2 3 5
3 1 2
0 0

Sample Output

3
2

1.迪杰斯特拉算法

$\bullet$算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
$\bullet$vector存边

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=110;
const int inf=999999999;
int n,m,vis[maxn]；//标记是否走过
int d[maxn];//d[i]表示i点到起点的最短距离
struct node
{
    int to,val;
    node (int a ,int b ):to(a),val(b){}
};
vector<node>v[maxn];
void init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)v[i].clear();
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=inf;
}
void dij(int start)
{
    d[start]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int minpos=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++){//从没被标记过的集合里遍历找到d[i]最小的点
            if((vis[j]==0)&&(minpos<0||d[j]<d[minpos])){
                minpos=j;
            }
        }
        vis[minpos]=1;
        for(unsigned int i=0;i<v[minpos].size();i++){//遍历与刚才找出的最小点有边相连的点，并更新到起点的值
            int next=v[minpos][i].to;
            int val=v[minpos][i].val;
            if(d[minpos]+val<d[next])
                d[next]=d[minpos]+val;
        }
    }
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n+m){
        int a,b,val;
        init();
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&val);
            v[a].push_back(node(b,val));//双向边
            v[b].push_back(node(a,val));
        }
        dij(1);
        printf("%d\n",d[n]);
    }
    return 0;
}

$\bullet$链式向前星存边
附上学习链式向前星的博客（学长讲的跟本没听懂。。。）大佬写的博客在这

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int inf=999999999;
const int maxn = 2e4+10;
int cnt=0;
int n,m,vis[maxn],d[maxn];
struct node
{
    int to,val,next;
}edge[maxn*2];


int head[maxn];
void add(int s,int e,int val)//链式向前星加边模板
{
    edge[++cnt]=node{e,val,head[s]};
    head[s]=cnt;
}

void init()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=inf;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}
void dij(int start)
{
    d[start]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int minpos=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if((vis[j]==0)&&(minpos<0||d[j]<d[minpos]))
                minpos=j;
        }
        vis[minpos]=1;
        if(d[minpos]==inf)break;
        for(int i=head[minpos];i!=-1;i=edge[i].next){//遍历与minpos有边的点
            if(d[minpos]+edge[i].val<d[edge[i].to])
                d[edge[i].to]=d[minpos]+edge[i].val;
        }
    }
}
int main()
{
    int a,b,c;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n+m)
    {
        init();
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            add(a,b,c);
            add(b,a,c);
        }
        dij(1);
        printf("%d\n",d[n]);
    }
    return 0;
}

2.SPFA算法

SPFA很类似于BFS，都运用了队列,下面使用vector存边。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=110;
const int inf=9999999;
int n,m,vis[maxn],d[maxn];
struct node
{
    int to,val;
    node(int a,int b):to(a),val(b){}
};
vector < node > v[maxn];
queue < int > q;
void spfa()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=inf;
    d[1]=0;
    q.push(1);
    vis[1]=1;//进队列标记为1，出队列标记为0
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();
        q.pop();
        vis[now]=0;
        for(unsigned int i=0;i<v[now].size();i++){
            int next = v[now][i].to;
            int val = v[now][i].val;
            if(d[now]+val<d[next]){
                d[next]=d[now]+val;
                if(vis[next]==0){
                    q.push(next);vis[next]=1;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n+m){
        int a,b,val;
        for(int i=1;i<=n;i++)v[i].clear();
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&val);
            v[a].push_back(node(b,val));
            v[b].push_back(node(a,val));
        }
        spfa();
        printf("%d\n",d[n]);
    }
    return 0;
}

3.Floyd算法(多源最短路)

如果要用到 Floyd 算法建边方式基本都是邻接矩阵，因为时间复杂度为O(n^3)，所以说n通常都不会很大。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int inf=999999999;
const int maxn = 1e2 + 5;
int n,m,vis[maxn],d[maxn];
int mp[maxn][maxn];
using namespace std;
void init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++){
        mp[i][i]=0;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            mp[i][j]=inf;
        }
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n+m)
    {
        init();
        for(int i=1;i<=m;i++){
            int a,b,val;
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&val);
            mp[a][b]=val;
            mp[b][a]=val;
        }
        for(int k=1;k<=n;k++)
            for(int i=1;i<=n;i++)
                for(int j=1;j<=n;j++)
                    mp[i][j]=min(mp[i][j],mp[i][k]+mp[k][j]);
        printf("%d\n",mp[1][n]);
    }
    return 0;
}