最长回文子串——Manacher 算法
一：背景
给定一个字符串，求出其最长回文子串。例如：
（1）s="abcd",最长回文长度为 1；
（2）s="ababa",最长回文长度为 5；
（3）s="abccb",最长回文长度为 4，即 bccb。
以上问题的传统思路大概是，遍历每一个字符，以该字符为中点向两边查找。其时间复杂度为$O(n^2)$，很不高效。而在1975年，一个叫Manacher的人发明了一个算法，Manacher算法，也称马拉车算法，该算法可以把时间复杂度提升到$O(n)$。下面来看看马拉车算法是如何工作的。
二：算法过程分析
由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，在字符间插入一个字符（前提这个字符未出现在串里）。举个例子：s="abbahopxpo"，转换为s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"（这里的字符 $ 只是为了防止越界，下面代码会有说明），如此，s 里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo，被转换为#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#，长度都转换成了奇数。
定义一个辅助数组int p[]，p[i]表示以s_new[i]为中心的最长回文的半径，例如：
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| s_new[i] | $ | # | a | # | b | # | b | # | a | # | h | # | o | # | p | # | x | # | p | # | o | # |
| p[i] | 1 | 2 | 1 | 4 | 5 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 6 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
可以看出，p[i]-1正好是原字符串中最长回文串的长度。
Manacher算法之所以快，就快在对 p 数组的求法上有个捷径。在我们解决了奇偶回文的繁琐时，剩下的难点就是求 p 数组，按照普通思维，我们是这样求解的：求解p[i]，先初始化p[i]=1，再以s_new[i]为中心判断两边是否相等，相等就p[i]++。这就是普通的思维，但是我们想想，能否让p[i]的初始化不是 1，让它更大点，看下图：
设置两个变量，mx 和 id 。
mx 代表以s_new[id]为中心的最长回文最右边界，也就是mx=id+p[id]。
假设我们现在求p[i]，也就是以s_new[i]为中心的最长回文半径，如果i
if (i < mx)
p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);2 * id -i其实就是等于 j ，p[j]表示以s_new[j]为中心的最长回文半径，见上图，因为 i 和 j 关于 id 对称，我们利用p[j]来加快查找。
三：代码
/**
*
* author 刘毅（Limer）
* date 2017-02-25
* mode C++
*/
#include
#include
using namespace std;
char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];
int Init()
{
int len = strlen(s);
s_new[0] = '$';
s_new[1] = '#';
int j = 2;
for (int i = 0; i < len; i++)
{
s_new[j++] = s[i];
s_new[j++] = '#';
}
s_new[j] = '\0'; //别忘了哦
return j; //返回s_new的长度
}
int Manacher()
{
int len = Init(); //取得新字符串长度并完成向s_new的转换
int maxLen = -1; //最长回文长度
int id;
int mx = 0;
for (int i = 1; i < len; i++)
{
if (i < mx)
p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i); //需搞清楚上面那张图含义, mx和2*id-i的含义
else
p[i] = 1;
while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]]) //不需边界判断，因为左有'$',右有'\0'
p[i]++;
if (mx < i + p[i]) //我们每走一步i，都要和mx比较，我们希望mx尽可能的远，这样才能更有机会执行if (i < mx)这句代码，从而提高效率
{
id = i;
mx = i + p[i];
}
maxLen = max(maxLen, p[i] - 1);
}
return maxLen;
}
int main()
{
while (printf("请输入字符串：\n"))
{
scanf("%s", s);
printf("最长回文长度为 %d\n\n", Manacher());
}
return 0;
}四：算法复杂度分析
文章开头已经提及，Manacher算法为线性算法，即使最差情况下其时间复杂度亦为$O(n)$，在进行证明之前，我们还需要更加深入地理解上述算法过程。
定义 mx 为以s_new[id]为中心的最长回文最右边界，也就是mx=id+p[id]。j 与 i 关于 id 对称，根据回文的性质，p[i]的值基于以下三种情况得出：
（1）j 的回文串有一部分在 id 的之外，如下图：
上图中，黑线为 id 的回文，i 与 j 关于 id 对称，红线为 j 的回文。那么根据代码此时p[i]=mx-i，即紫线。那么p[i]还可以更大么？答案是不可能！见下图：
假设右边新增的紫色部分是p[i]可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 d ，也就是说 id 的回文不仅仅是黑线，而是黑线+两条紫线，矛盾，所以假设不成立，故p[i]=mx-i，不可以再增加一分。
（2）j 回文串全部在 id 的内部，如下图：
此时p[i]=p[j]，那么p[i]还可以更大么？答案亦是不可能！见下图：
假设右边新增的红色部分是p[i]可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 b ，，也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ，矛盾，所以假设不成立，故p[i]=p[j]，也不可以再增加一分。
（3）j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合，见下图：
此时p[i]=p[j]或p[i]=mx-i，并且p[i]还可以继续增加，所以需要
while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])
p[i]++; 根据（1）（2）（3），很容易推出Manacher算法的最坏情况，即为字符串内全是相同字符的时候。在这里我们重点研究Manacher（）中的for语句，推算发现for语句内平均访问每个字符5次，即时间复杂度为：$T_{worst}(n)=O(n)$。
同理，我们也很容易知道最佳情况下的时间复杂度（最佳情况即字符串内字符各不相同）。推算得平均访问每个字符4次，即时间复杂度为：$T_{best}(n)=O(n)$。
综上，Manacher算法的时间复杂度为$O(n)$。