TSOJ 好好做题(屑)——递推状态压缩+高精度
文章目录
- 题目描述
- 解题思路
- 喜闻乐见的AC代码
- 补充一：高精度
- 补充二：状态压缩
- 完整注释代码
- 后记
题目描述
选修程序设计和算法课程的学生人数为 n，任课老师设置了 m 道练习题目(其中：1 <= m,n <= 100)，假定每道题的难度和知识点都是一样的，要求选修本课程的同学利用在线测评系统完成一道题目，同时还要求每道题目至少要被做过一次，问有多少种做题方案？当然也有可能没有一种方案存在。
输入描述
多组输入，每一行输入两个用一个空格分开的整数 n 和 m
输出描述
占一行，对应输入的每组数，输出对应的方案数
样例
4 2
15 12
7
106470
解题思路
粗略描述一下这道屑题
本题的表达比较反人类，它是说把n个不同的物件放入m个相同的篮子，并且要求篮子不能为空。
（关键句是“每道题难度和知识点都是一样的”-_-|||）
从高中正常毕业的学生的想法
（如果你已经通过百度了解“第二类斯特林公式”，请跳过这个屑过程）
利用高中组合数知识解说一下样例：
样例一:
4个物品放入2个篮子，可以3+1分或2+2分，因此我们的answer为:
样例二：
15个物品放入12个篮子有三种分法，
4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1；
3+2+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1；
2+2+2+1+1+1+1+1+1+1+1+1；
因此answer’为：
（看不懂为什么除以2！或3！的可以退学了 [x）
那么问题来了，实现这样的思考过程十分麻烦，而且计算机执行起来效率也不高，不符合“计算机的思维”。
符合计算机思维的思路
我们知道组合数是可以递推出来的，实际上这道屑题也存在这样的状态转移。
对于n个物品和m个篮子，可以这么考虑答案组成；
1.来自n-1个物品m-1个篮子。
相当于在这种状态下加上一个装有第n个物品的篮子；
2.来自n-1个物品m个篮子。
添加第n个物品，这个物品有m种选择，它可以放在这m个篮子里任意一个中
(思考一下m种方案是否和m个相同的篮子矛盾？为什么？）
由此得出一个简单的递推式:
如果m=1或m=n时，answer=1；
如果n>m时，answer=0；
喜闻乐见的AC代码
这样就能AC了？
#include是不是感觉代码和说好的思路有点出入。
补充一：高精度
——补充一 高精度——
事实证明，我们输入100 50时，数据是很大的，如果不用高精度，妥妥的超出范围。
——高精度的实质就是用数组暴力模拟竖式计算
比如我们计算两个100位数a和b的乘积，可以用字符串读取a和b，然后把用b数组中的最后一位乘以a中的每一位数保存入数组ans的对应位置，并做好进位工作。依次循环，直到b的第一位数乘完数组a中每一个元素。
以下几种高精度参考：
——高精度加法：
#include——高精度乘法：
#include本题中利用高精度计算的代码段：
for(j=min(i-1,m);j>=1&&n-i>=m-j;--j)
{
for(k=1;k<=120;++k)
ans[k][j]=ans[k][j-1]+j*ans[k][j];
for(k=1;k<=120;++k)
if(ans[k][j]>=10)
{
ans[k+1][j]+=ans[k][j]/10;
ans[k][j]%=10;
}
}
补充二：状态压缩
——补充二 状态压缩——
注意本题只有8MB空间限制，开一个100 * 100 * 100的数组保存每一行每一列的高精度数有够呛的。
事实上，我们没必要一定要存储之前的数据，毕竟我们的递推式只涉及到n和n-1这两行，前面的数据完全可以舍弃。
假设现在正在用k递推k+1，由之前的递推式可知状态转移是从(k,m-1)+m*(k,m) 到(k+1,m)，我们完全可以只开一维的高精数组(即100 * 100），把每一次计算出来的(k+1,m)取代掉上一行同位置的(k,m)，也就是说我们的这个一维高精度数组保存的数据由第k+1行覆盖掉第k行。
如何覆盖？
如果仍旧以人类的思维，从第一个数据开始覆盖是会出错的。
但是从最后一个数据开始覆盖就不会出错：
状态压缩其实还有另外一层意义
从后面开始覆盖，意味着有些数据我们用不着计算了，毕竟答案只是一个点而已。
完整注释代码
以下：
#include本代码占空间1.51MB，耗时0MS
后记
这个屑题本身不是很难，主要是有一些小优化值得记录一下。
水得题解++;
2018年12月26日