CCF CSP 201909-5 城市规划【树上背包】

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• 定义$f[x][j]$表示以点$x$为根的子树中选取$j$个节点的最小路径和。
• 最终答案就是$f[root][k]$
• 考虑当前节点与其直接子节点之间的关系：对答案的影响是每条边的贡献，贡献值为$子树中选的节点个数\ast 子树外选的节点个数\ast w$
  
• 以$x$为根的子树依赖于内部更小的子树，每个子树都可以在其中选取有限个点，不同子树中选取的数量可以不同，类似于背包问题。本题需要用滚动数组。
• 状态转移方程：设当前更新的边为$<x,y>$,$y$是$x$的子节点。$f[x][j]=min\{f[y][l]+f[x][j-l]+l\ast (k-l)\ast w\}$.此方程中出现了$k$，也就是说不能仅仅考虑这个子树中的所有情况，也就是说$f[x][j]$并不仅仅只表示了$x$这个子树中的所有数值，而是从整体来考虑，对全局而言，选取的全部$k$个点在子树中的全部贡献都已经计算在内。

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=5e4+10;
//ct[i]用于存以i为节点的子树中重要节点的个数 
int  n,m,k,head[maxn],tot,ct[maxn];
ll f[maxn][110];
bool imp[maxn]; 
struct edge{
	int to,next,w;
}e[maxn*2];
void add(int x,int y,int w){
	e[++tot].to=y;
	e[tot].w=w;
	e[tot].next=head[x];
	head[x]=tot;
} 
void dfs(int x,int fa){
	f[x][0]=0;
	if(imp[x]){
		//点x是重要节点
		f[x][1]=0;
		ct[x]++; 
	}
	for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
		int y=e[i].to;
		if(y==fa) continue;
		dfs(y,x);
		ct[x]+=ct[y];
		for(int j=min(k,ct[x]);j>0;j--){
			for(int l=1;l<=j&&l<=min(k,ct[y]);l++){
				f[x][j]=min(f[x][j],f[y][l]+f[x][j-l]+l*(k-l)*e[i].w);
			}
		}
	}
}
int main(){
	memset(f,63,sizeof f);
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x;cin>>x;
		imp[x]=1;
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y,z;
		cin>>x>>y>>z;
		add(x,y,z);
		add(y,x,z);
	}
	dfs(1,0);
	cout<<f[1][k]<<endl;
}