数论 + 概率论 - Tetrahedron - HDU 6814

数论 + 概率论 - Tetrahedron - HDU 6814

2020 Multi-University Training Contest 5

题意：

$直角四面体连接直角顶点的三条棱长为a,b,c，直角顶点到底面的距离为h，$

$现给定正整数n，从区间[1,n]中等概率的选择三个数a,b,c，计算\frac{1}{h^2}的数学期望。$

$答案对998244353取模。$

输入：

$T组测试数据，$

$每组包括一个正整数n。$

$T不超过2\times 10^6，n的总和不超过6\times 10^6。$

输出：

$一个正整数，表示答案。$

Sample Input

3
1
2
3

Sample Output

3
124780546
194103070

---

分析：

$对于直角四面体的直角顶点到底面的距离，有结论：$

$$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$$

$则：$

$$E(\frac{1}{h^2})=E(\frac{1}{a^2})+E(\frac{1}{b^2})+E(\frac{1}{c^2})$$

$考虑到a,b,c的轮换对称性，$

$$E(\frac{1}{h^2})=3E(\frac{1}{a^2})$$

$问题转化为求\frac{1}{a^2}的期望，即$

$$E(\frac{1}{a^2})=\sum _{i=1}^{n}P(a=i)\times \frac{1}{i^2}=\frac{1}{n}\times \sum _{i=1}^n\frac{1}{i^2}$$

$于是，我们需要预处理出i^2的逆元，i\in [1,6\times 10^6]，并维护前缀和，最终答案即:$
$$\frac{3}{n}\times \sum _{i=1}^n\frac{1}{i^2}$$

代码：

#include
#include
#include
#include
#include

#define ll long long

using namespace std;

const int N=6e6+10, mod=998244353;

int T,n;
ll INV[N];
ll sum[N];

void Init()
{
    INV[1]=1;
    for(int i=2;i<=6e6;i++) INV[i]=(ll)(mod-mod/i)*INV[mod%i]%mod;
    for(int i=1;i<=6e6;i++) sum[i]=(sum[i-1]+INV[i]*INV[i]%mod)%mod;
}

int main()
{   
    Init();
    
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        ll res=3ll*INV[n]%mod*sum[n]%mod;
        printf("%lld\n",res);
    }
    
    return 0;
}