数论 + 概率论 - Paperfolding - HDU 6822

数论 + 概率论 - Paperfolding - HDU 6822

2020 Multi-University Training Contest 5

题意：

$对一张纸进行n次操作，$

$每次操作允许横向对折或者竖向对折，两种操作都是等概率的，$

$最后将纸片横向平分剪一刀，竖向平分剪一刀，$

$对最后分成的纸片数量计算数学期望。答案对998244353取模。$

输入：

$T组测试数据，$

$每组包括一个正整数n。$

输出：

$一个正整数，表示答案。$

Sample Input

2
0
1

Sample Output

4
6

数据范围：

$1\le T\le 10^5，0\le n\le 10^{18}$

---

分析：

$设n次操作中，有i次横向对折的操作，$

$则最终能够将纸片分成(2^i+1)(2^{n-i}+1)块。$

$记X_i为事件：纸被横向对折i次后，最终被分成的小纸片的数量。$

$则P(X_i)=C_n^i\cdot \frac{1}{2^n}，即事件X_i发生的概率。$

$数学期望$

$$E(X)=\sum _{i=0}^{n}P(X_i)\cdot X_i=\frac{1}{2^n}\sum _{i=0}^n{C}_n^i\times (2^i+1)(2^{n-i}+1)=\frac{1}{2^n}\sum _{i=0}^n{C}_n^i(2^n+2^i+2^{n-i}+1)$$

$根据二项式定理：$

$$\sum _{i=0}^n{C}_n^i{x}^i=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{x}^i\cdot 1^{n-i}=(1+x{)}^n$$

$故：{\sum }_{i=0}^n{C}_n^i{2}^i=3^n，{\sum }_{i=0}^n{C}_n^i{2}^{-i}=(1+\frac{1}{2}{)}^n$

$最终答案：$

$$\frac{1}{2^n}\sum _{i=0}^n{C}_n^i(2^n+2^i+2^{n-i}+1)=\frac{1}{2^n}(4^n+3^n+2^n(1+\frac{1}{2}{)}^n+2^n)$$

代码：

#include
#include
#include
#include
#include

#define ll long long

using namespace std;

const int mod=998244353;

int T;
ll n;

ll quick_pow(ll a,ll b,int mod)
{
    ll res=1;
    b%=(mod-1);
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

int main()
{   
    cin>>T;
    ll INV_2=quick_pow(2,mod-2,mod);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        ll pow_2n=quick_pow(2,n,mod);
        ll pow_3n=quick_pow(3,n,mod);
        ll INV_p2=quick_pow(pow_2n,mod-2,mod);
        
        ll res=(pow_2n+1)*pow_2n%mod;
        res=(res+pow_3n)%mod;
        ll tmp=quick_pow(1+INV_2,n,mod)*pow_2n%mod;
        res=(res+tmp)%mod*INV_p2%mod;
        printf("%lld\n",res);
    }
    
    return 0;
}