2019 ICPC 南昌网络赛 H. The Nth Item (二阶线性数列递推)
The Nth Item
题解
比赛时我还没解完，就被用矩阵快速幂加map过掉了。。但还是补上这个。
二阶线性数列递推，经典解法：
F ( n ) = 3 F ( n − 1 ) + 2 F ( n − 2 ) F(n)=3F(n-1)+2F(n-2) F(n)=3F(n−1)+2F(n−2)
我们令 F ( n ) = r n F(n)=r^n F(n)=rn
所以特征多项式为：
r 2 − 3 r − 2 = 0 r^2-3r-2=0 r2−3r−2=0
解得 r 1 = 3 + 17 2 , r 2 = 3 − 17 2 r_1=\cfrac{3+\sqrt{17}}{2},r_2=\cfrac{3-\sqrt{17}}{2} r1=23+17,r2=23−17
所以
F ( n ) = c 1 r 1 n + c 2 r 2 n F ( n ) = c 1 ( 3 + 17 2 ) n + c 2 ( 3 − 17 2 ) n \begin{aligned}F(n)&=c_1r_1^n+c_2r_2^n\\F(n)&=c_1(\cfrac{3+\sqrt{17}}{2})^n+c_2(\cfrac{3-\sqrt{17}}{2})^n\end{aligned} F(n)F(n)=c1r1n+c2r2n=c1(23+17)n+c2(23−17)n
由题目中给出的 F ( 0 ) = 0 , F ( 1 ) = 1 F(0)=0,F(1)=1 F(0)=0,F(1)=1
F ( 0 ) = c 1 + c 2 = 0 F ( 1 ) = c 1 ( 3 + 17 2 ) + c 2 ( 3 − 17 2 ) = 1 \begin{aligned}F(0)&=c_1+c_2=0\\F(1)&=c_1(\cfrac{3+\sqrt{17}}{2})+c_2(\cfrac{3-\sqrt{17}}{2})=1\end{aligned} F(0)F(1)=c1+c2=0=c1(23+17)+c2(23−17)=1
解得 c 1 = 1 17 , c 2 = − 1 17 c_1=\cfrac{1}{\sqrt{17}},c_2=-\cfrac{1}{\sqrt{17}} c1=171,c2=−171
故
F ( n ) = 1 17 ( ( 3 + 17 2 ) n − ( 3 − 17 2 ) n ) F(n)=\cfrac{1}{\sqrt{17}}((\cfrac{3+\sqrt{17}}{2})^n-(\cfrac{3-\sqrt{17}}{2})^n) F(n)=171((23+17)n−(23−17)n)
上面是推导过程，具体算法还涉及到q次询问，所以普通快速幂是不能实现的，时间复杂度过高，题解说的是预处理 r 0 , r 1 , ⋯ , r 1 e 9 r^0,r^1,\cdots,r^{\sqrt{1e9}} r0,r1,⋯,r1e9和 r 0 ⋅ 1 e 9 , r 1 ⋅ 1 e 9 , ⋯ , r 1 e 9 ⋅ 1 e 9 r^{0·\sqrt{1e9}},r^{1·\sqrt{1e9}},\cdots,r^{\sqrt{1e9}·\sqrt{1e9}} r0⋅1e9,r1⋅1e9,⋯,r1e9⋅1e9，做到了 O ( 1 ) O(1) O(1)的询问。
我是按照题解写的预处理，但是我觉得应该可以k进制快速幂， l o g 2 ( n ) log_2(n) log2(n)不够，就把2换成大一点的嘛，总归是可以的。
代码
// #include
}
cout<<ans%MOD<<endl;
return 0;
}