2019 Multi-University Training Contest 2

不会数据结构，玩?ACM

1005 Everything Is Generated In Equal Probability

题意

给出一个整数$N(N\le 3\times 10^3$)，先从$[1,N]$随机选取一个$n$，然后从所有长度为$n$的全排列中随机选取一个排列。求期望这个排列的函数$f(x)$值是多少。
$f(x)$值定义如下：从当前排列中随机选取一个子序列，求出这个子序列的$f(x)$值后，加上当前排列的逆序对个数作为返回值。

题解

对于一个长度为$n$排列来说，他的逆序对期望个数为$\frac{n(n-1)}{4}$，因为两个数字都有一半的可能成为逆序对。
在一个长度为n的序列中，选取一个子序列，有 $$\frac{C(i,n)}{2^n}$$ 的概率剩下的序列长度为$i$。那么可以认为$$f(x)=\frac{n(n-1)}{4}+\sum _{i=0}^n\frac{C(i,n)}{2^n}f(i)$$
这样，结合一开始的选取规则，答案就是$$\frac{{\sum }_{i=1}^{N}f(i)}{N}$$
$f(x)$可以$O(n)$地递推一次，那么做出所有$f(x)$的总体复杂度是$O(n^2)$，这样可以预处理出所有的答案
。

1008 Harmonious Army

题意

有一个由$n(n\le 500)$个人组成的军队，每个人都可以担任战士或法师。
军队中存在$m(m\le 10^4)$个关系，第$i$个关系中包括两个人$l_i,r_i$。当两人均为战士时，军队总战斗力上升$A_i$，当一人为战士一人为法师时，军队总战斗力上升$B_i$，当两人均为法师时，军队总战斗力上升$C_i$，保证$B=\frac{A}{4}+\frac{C}{3}$且公式内均能整除。
求军队能获得的最大总战斗力。

题解

用最小割来表示方案的选择。因为这题要求最大值，所以将所有方案的收益求和，减去最小割来求解。
每种切割方案都对应一种选择方案，切割的花费应该设置为选择这种方案后的损失（即对应的其他方案的收益和）。

根据三种方案得到方程组
$a+b=A+B$//两个法师
$c+d=C+B$//两个战士
$a+d+e=A+C$//一战一法
$b+c+e=A+C$//一战一法
上面解出来得
$a=b=(A+B)/2$
$c=d=(C+B/2)$
$e=-B+(A+C)/2$
跑个最大流就行了。

1009 I Love Palindrome String

题意

给出一个长度为$n(n\le 10^5)$的字符串。要求输出$n$个整数，第$i$个整数表示该字符串有多少个长度为$i$的字串，它不仅自身是回文串，而且它的后半部分（长度向上取整）也是回文串。

题解

跑个回文自动机就没了，我也不知道咋整的。

1010 Just Skip The Problem

题意

给出一个$n(n\le 10^9)$，你可以同时发起若干个询问来猜测一个二进制下有$n$位的数字$X$，每个询问包括一个数字$Y$，返回$X\&Y=Y$这个等式是否成立。所有的回答都是同时返回的。求在询问次数最少的情况下，有多少种询问的方式。

题解

我们认为每次确定一位，需要$n$次来确定这个数字，那么这$n$次的询问顺序是任意的，所以答案为$n!$。

1011 Keen On Everything But Triangle

题意

给出一个长度为$n(n\le 10^5)$的数列，一共有次$Q(Q\le 10^5)$询问，每次询问包括一个区间$[L_i,R_i]$，要求回答这个区间内取出三个数能组成所有三角形中，三角形的最大周长。不能组成三角形输出$-1$。

题解

显然地，答案应由数字按大小排序后，连续的三个数字组成。不妨从大到小取，第一组合法的三个数字求和即是最大周长。不难发现不合法的情况下，数字大小呈斐波那契级别增长，简单计算可以发现，不合法情况最多持续45次，那么对于每个区间，取出前45大的数字即可。
可以直接主席树，也可以线段树维护区间前45大。还有jls的一个做法：线段树每次取最大，然后删除，完成一次询问后再恢复。

1012 Longest Subarray

题意

给出一个长度为$n(n\le 10^5)$的数列，求一个最长的子区间，对于区间内的每一个数字，都满足它在该区间内出现次数不少于$K$。

题解

线段树高级做法，不会

补题

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读题

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