2020牛客暑期多校训练营（第九场） The Escape Plan of Groundhog

原题
题目描述
一堆桌子被排列成$N\times M$的矩形，$a[i][j]=1$表示位置$(i，j)$处有桌子，否则就没有。为了不被老师抓住，他要藏在一个矩形下，这个矩形要满足这些条件$：$
$1、$该子矩形的四条边上没有空位；
$2、$子矩形中的空位与桌子的数量之差不超过$1$（不包括侧面的桌子）$；$
$3、$子矩形的长度和宽度必须大于$1$。
有多少个子矩形可以满足要求$？$
输入描述$：$
输入包含两个整数$N$和$M$，范围为$[1,500]$，中间用空格隔开。
然后是$N$行，每行包含$M$个字符来描述矩形$（a[i][j]\in 0,1）$。
样例1
输入

4 4
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1

输出

3

说明

There're two 2*2 rectangle full of "1",and the whole 4*4 rectangle .

样例2
输入

5 5
1 0 1 1 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 1
1 0 0 1 1
1 1 1 1 1

输出

3

思路
因为本题的数据范围还是比较小的，$N$和$M$都$\le 500$，所以可以考虑时间复杂度为$O($$n$³$)$的算法。
首先，我们会想到一种$O(n$⁴$)$的算法$：$
枚举矩阵左上的端点和右下的端点，然后判断一下矩阵周围一圈是不是$1$，有一个不是$1$就退出搜索。然后判断一下矩阵除了最外圈的$1$，$0$和$1$数量的差值是否$\le 0$，如果是，累加到$ans$上。
显然这就是一个单纯的暴力，时间复杂度明显不对，所以还得优化。
首先，我们可以原来$01$的矩阵转化为$-1$和$1$的矩阵，然后求一下前缀和。
如果求出一个区间内的数字和的绝对值$\le 1$，则表示这是一个合法的区间。
我们可以枚举上下行边界，对于每一列扫一遍，用前缀和维护即可，维护时不能算上这个矩阵周围的$1$。
枚举列的时候，如果这一列也是$1$，就可以统计进去。
代码

#include
#define ll long long 
using namespace std;
const int inf=1<<15;
int a[505][505],b[505][505],c[250005],d[505],n,m,x=1;
int ans;
int main()
{
	d[0]=inf;scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%lld",&a[i][j]);if(!a[i][j])a[i][j]=-1;b[i][j]=b[i-1][j]+a[i][j];}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++,x=1)
		{
			for(int k=1;k<=m;k++)
				if(a[i][k]^1||a[j][k]^1)
				{
					for(int l=x;l<=k;l++)if(b[j][l]-b[i-1][l]==j-i+1)c[d[l]]--;
					x=k+1,d[k]=inf;
				}
				else
				{
					if(b[j][k]-b[i-1][k]==j-i+1)ans+=c[d[k-1]]+c[d[k-1]+1]+c[d[k-1]-1];
	                d[k]=d[k-1]+b[j-1][k]-b[i][k];
	                if(b[j][k]-b[i-1][k]==j-i+1)c[d[k]]++;
				}
			for(int k=x;k<=m;k++)if(b[j][k]-b[i-1][k]==j-i+1)c[d[k]]--;
		}
	printf("%d\n",ans);
}