竞赛题目讲解-【NOIP2000提高组】乘积最大

【NOIP2000提高组】乘积最大

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Description
今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目:
设有一个长度N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：有一个数字串: 312，当N=3，K=1时会有以下两种分法：

1）3*12=36 2）31*2=62 

这时，符合题目要求的结果是： 31*2=62
现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

Input
第1行:共有2个自然数N,K (6<=N<=40，1<=K<=6)
第2行:一个长度为N的数字串
output
第1行：最大乘积

Sample Input

4 2
1231

Sample Output

62

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题目讲解
这是一道标准的DP（动态规划）题。先不考虑40位的高精度（数据太弱），我们就用 long long 来定义变量。
与其他DP题一样，我们需要一个数组（g）来保存每一步的状态，和一个函数（G）来计算答案，以及最核心的——状态转移方程式。数组g的维数决定于函数G中参数的个数，值得注意的是它们都是 long long 类型。
输入不多讲，只是 long long 类型输入Windows XP的版本是 “%I64d”,而提交时通常是 “%lld”。然后是处理函数G，先定参数如下：

1. x(int):表示还需要插入x个乘号；
2. len(int):表示现在要在前（高位为前，低位为后）len位数中插入乘号；
3. （这个只是为了方便）num(long long):表示现在要处理的数字。

忽略为了方便处理的参数num，那么函数G就包含有2个参数，就可以得出数组g是二维，也能够得出它的定义：

g[i][j]：在前j个数字中插入i个乘号所得的最大乘积

根据此定义，最后的输出应该是g[k][n]。
这道题的状态转移方程式较为浅显，我们可以从后往前（从低位到高位）插入乘号，再在该乘号之前的数中插入剩余的乘号。便得到状态转移方程式如下：

g[i][j]=g[i-1][k]*<后k-1位数> (i-1<=k

再定义函数G的边界，首先是每一个记忆化搜索的记忆化部分，然后是当需要插入0个乘号时，它的结果应该是现在要处理的数字本身，也就是说，当 x==0 时，返回num。当条件不符合边界时，我们就需要依次枚举乘号放置的位置。但是我们必须保证，该乘号放置过后还能够把剩余的乘号放置下来，这里注意一个误区——若有n个数字，那么只有n-1个空隙，也就是说能够放置n-1个乘号。处理这一点需要限制for循环的枚举起点，也就是保证前面至少有x-1个空隙，所以i应该从x-1开始（作者是从0开始计数的）。
在for循环中，我们首先需要把已经确定的数字和还需要处理的数字分离出来，递归处理后计算出结果，与g[x][len]比较，使g[x][len]始终保留最大值。

这就是 long long 类型的做法，反正数据水（这样不对，高精度的作者就不讲了）。

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程序样例

/*Lucky_Glass*/
#include
#include
#include
using namespace std;
long long g[20][50];
long long G(int x,int len,long long num)
{
    if(g[x][len]) return g[x][len];
    if(x==0) return g[x][len]=num;
    for(int i=x-1;i1;i++)
    {
        long long a=num%(long long)pow(10,len-i-1);
        a*=G(x-1,i+1,(num-a)/pow(10,len-i-1));
        g[x][len]=max(g[x][len],a);
    }
    return g[x][len];
}
int main()
{
    int n,L;
    long long num;
    scanf("%d%d%lld",&L,&n,&num);
    printf("%lld",G(n,L,num));
    return 0;
}

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The End

Thanks for reading

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