A*，Dijkstra，BFS算法性能比较及A*算法的应用

                    一之续、A*，Dijkstra，双向BFS算法性能比较及A*算法的应用

作者:July   二零一一年三月十日。
出处：http://blog.csdn.net/v_JULY_v
-------------------------------------------------- 

引言：
    最短路径的各路算法A*算法、Dijkstra 算法、BFS算法，都已在本BLOG内有所阐述了。其中，Dijkstra 算法，后又写了一篇文章继续阐述：二（续）、理解Dijkstra算法。但，想必，还是有部分读者对此类最短路径算法，并非已了然于胸，或者，无一个总体大概的印象。

    本文，即以演示图的形式，比较它们各自的寻路过程，让各位对它们有一个清晰而直观的印象。
    我们比较，以下五种算法：
        1. A* (使用曼哈顿距离)
        2. A* (采用欧氏距离)
        3. A* (利用切比雪夫距离)
        4. Dijkstra 
        5. Bi-Directional Breadth-First-Search(双向广度优先搜索)

    咱们以下图为例，图上绿色方块代表起始点，红色方块代表目标点，紫色的方块代表障碍物，白色的方块代表可以通行的路径。
    下面，咱们随意摆放起始点绿块，目标点红块的位置，然后，在它们中间随便画一些障碍物，
    最后，运行程序，比较使用上述五种算法，得到各自不同的路径，各自找寻过程中所覆盖的范围，各自的工作流程，并从中可以窥见它们的效率高低。

A*、Dijkstra、BFS算法性能比较演示：
    ok，任意摆放绿块与红块的三种状态（演示工具来源：http://code.google.com/p/mycodeplayground/）：
一、起始点绿块，与目标点红块在同一条水平线上：

各自的搜寻路径为：
        1. A* (使用曼哈顿距离)

        2. A* (采用欧氏距离)

        3. A* (利用切比雪夫距离)

        4. Dijkstra 算法.//很明显，Dijkstra 搜寻效率明显差于上述A* 算法。（看它最后找到目标点红块所走过的路径，和覆盖的范围，即能轻易看出来，下面的比较，也是基于同一个道理。看路径，看覆盖的范围，评价一个算法的效率）。

 

       5. Bi-Directional Breadth-First-Search(双向广度优先搜索) 

 

二、起始点绿块，目标点红块在一斜线上：

各自的搜寻路径为：
        1. A* (使用曼哈顿距离)

        2. A* (采用欧氏距离)

        3. A* (利用切比雪夫距离)

        4. Dijkstra 算法。 //与上述A* 算法比较，覆盖范围大，搜寻效率较低。

 

        5. Bi-Directional Breadth-First-Search(双向广度优先搜索)

 

三、起始点绿块，目标点红块被多重障碍物阻挡：

各自的搜寻路径为（同样，还是从绿块到红块）：
        1. A* (使用曼哈顿距离)

        2. A* (采用欧氏距离)..

        3. A* (利用切比雪夫距离)

        4. Dijkstra....

        5. Bi-Directional Breadth-First-Search(双向广度优先搜索) //覆盖范围同上述Dijkstra 算法一样很大，效率低下。

A*搜寻算法的高效之处
      如上，是不是对A*、Dijkstra、双向BFS算法各自的性能有了个总体大概的印象列?由上述演示，我们可以看出，在最短路径搜寻效率上，一般有A*>Dijkstra、双向BFS，其中Dijkstra、双向BFS到底哪个算法更优，还得看具体情况。
      由上，我们也可以看出，A*搜寻算法的确是一种比较高效的寻路算法。

      A*算法最为核心的过程，就在每次选择下一个当前搜索点时，是从所有已探知的但未搜索过点中(可能是不同层，亦可不在同一条支路上)，选取f值最小的结点进行展开。
      而所有“已探知的但未搜索过点”可以通过一个按f值升序的队列(即优先队列)进行排列。
      这样，在整体的搜索过程中，只要按照类似广度优先的算法框架，从优先队列中弹出队首元素（f值），对其可能子结点计算g、h和f值，直到优先队列为空(无解)或找到终止点为止。

      A*算法与广度、深度优先和Dijkstra 算法的联系就在于：当g(n)=0时，该算法类似于DFS，当h(n)=0时，该算法类似于BFS。且同时，如果h(n)为0，只需求出g(n)，即求出起点到任意顶点n的最短路径，则转化为单源最短路径问题，即Dijkstra算法。这一点，可以通过上面的A*搜索树的具体过程中将h(n)设为0或将g(n)设为0而得到。

BFS、DFS与A*搜寻算法的比较
    参考了算法驿站上的部分内容：
    不管以下论述哪一种搜索，都统一用这样的形式表示：搜索的对象是一个图，它面向一个问题，不一定有明确的存储形式，但它里面的一个结点都有可能是一个解（可行解），搜索的目的有两个方面，或者求可行解，或者从可行解集中求最优解。
    我们用两张表来进行搜索，一个叫OPEN表，表示那些已经展开但还没有访问的结点集，另一个叫CLOSE表，表示那些已经访问的结点集。

蛮力搜索（BFS，DFS）
BFS（Breadth-First-Search 宽度优先搜索）
  首先将起始结点放入OPEN表，CLOSE表置空，算法开始时：
    1、如果OPEN表不为空，从表中开始取一个结点S，如果为空算法失败
    2、S是目标解吗？是，找到一个解（继续寻找，或终止算法）；不是到3
    3、将S的所有后继结点展开，就是从S可以直接关联的结点（子结点），如果不在CLOSE表中，就将它们放入OPEN表末尾，而把S放入CLOSE表，重复算法到1。

DFS（Depth-First-Search 深度优先搜索）
  首先将起始结点放入OPEN表，CLOSE表置空，算法开始时：
    1、如果OPEN表不为空，从表中开始取一个结点S，如果为空算法失败
    2、S是目标解吗？是，找到一个解（继续寻找，或终止算法）；不是到3
    3、将S的所有后继结点展开，就是从S可以直接关联的结点（子结点），如果不在CLOSE表中，就将它们放入OPEN表开始，而把S放入CLOSE表，重复算法到1。

是否有看出：上述的BFS和DFS有什么不同？
    仔细观察OPEN表中待访问的结点的组织形式，BFS是从表头取结点，从表尾添加结点，也就是说OPEN表是一个队列，是的，BFS首先让你想到‘队列’；而DFS，它是从OPEN表头取结点，也从表头添加结点，也就是说OPEN表是一个栈！

    DFS用到了栈，所以有一个很好的实现方法，那就是递归，系统栈是计算机程序中极重要的部分之一。用递归也有个好处就是，在系统栈中只需要存结点最大深度那么大的空间，也就是在展开一个结点的后续结点时可以不用一次全部展开，用一些环境变量记录当前的状态，在递归调用结束后继续展开。

利用系统栈实现的DFS
函数 dfs(结点 s)
{
      s超过最大深度了吗？是：相应处理，返回；
      s是目标结点吗？是：相应处理；否则：
      {
            s放入CLOSE表；
            for(c=s.第一个子结点 ；c不为空 ；c=c.下一个子结点() )
                  if(c不在CLOSE表中)
                        dfs(c)；递归
      }
}

    如果指定最大搜索深度为n，那系统栈最多使用n个单位，它相当于有状态指示的OPEN表，状态就是c，在栈里存了前面搜索时的中间变量c，在后面的递归结束后，c继续后移。在象棋等棋类程序中，就是用这样的DFS的基本模式搜索棋局局面树的，因为如果用OPEN表，有可能还没完成搜索OPEN表就暴满了，这是难于控制的情况。

    我们说DFS和BFS都是蛮力搜索，因为它们在搜索到一个结点时，在展开它的后续结点时，是对它们没有任何‘认识’的，它认为它的孩子们都是一样的‘优秀’，但事实并非如此，后续结点是有好有坏的。好，就是说它离目标结点‘近’，如果优先处理它，就会更快的找到目标结点，从而整体上提高搜索性能。

启发式搜索
    为了改善上面的算法，我们需要对展开后续结点时对子结点有所了解，这里需要一个估值函数，估值函数就是评价函数，它用来评价子结点的好坏，因为准确评价是不可能的，所以称为估值。打个比方，估值函数就像一台显微镜，一双‘慧眼’，它能分辨出看上去一样的孩子们的手，哪个很脏，有细菌，哪个没有，很干净，然后对那些干净的孩子进行奖励。这里相当于是需要‘排序’，排序是要有代价的，而花时间做这样的工作会不会对整体搜索效率有所帮助呢，这完全取决于估值函数。

    排序，怎么排？用哪一个？快排吧，qsort！不一定，要看要排多少结点，如果很少，简单排序法就很OK了。看具体情况了。
    排序可能是对OPEN表整体进行排序，也可以是对后续展开的子结点排序，排序的目的就是要使程序有启发性，更快的搜出目标解。

    如果估值函数只考虑结点的某种性能上的价值，而不考虑深度，比较有名的就是有序搜索（Ordered-Search），它着重看好能否找出解，而不看解离起始结点的距离（深度）。
    如果估值函数考虑了深度，或者是带权距离（从起始结点到目标结点的距离加权和），那就是A*，举个问题例子，八数码问题，如果不考虑深度，就是说不要求最少步数，移动一步就相当于向后多展开一层结点，深度多算一层，如果要求最少步数，那就需要用A*。
    简单的来说A*就是将估值函数分成两个部分，一个部分是路径价值，另一个部分是一般性启发价值，合在一起算估整个结点的价值。

    从A*的角度看前面的搜索方法，如果路径价值为0就是有序搜索，如果路径价值就用所在结点到起始结点的距离（深度）表示，而启发值为0，那就是BFS或者DFS，它们两刚好是个反的，BFS是从OPEN表中选一个深度最小的进行展开，
    而DFS是从OPEN表中选一个深度最大的进行展开。当然只有BFS才算是特殊的A*，所以BFS可以求要求路径最短的问题，只是没有任何启发性。 下文稍后，会具体谈A*搜寻算法思想。

BFS、DFS、Kruskal、Prim、Dijkstra算法时间复杂度
      上面，既然提到了A*算法与广度、深度优先搜索算法的联系，那么，下面，也顺便再比较下BFS、DFS、Kruskal、Prim、Dijkstra算法时间复杂度吧：     
      一般说来，我们知道，BFS，DFS算法的时间复杂度为O（V+E），
      最小生成树算法Kruskal、Prim算法的时间复杂度为O（E*lgV）。
      而Prim算法若采用斐波那契堆实现的话，算法时间复杂度为O（E+V*lgV），当|V|<<|E|时，E+V*lgV是一个较大的改进。
            //|V|<<|E|，=>O（E+V*lgV） << O（E*lgV），对吧。:D
      Dijkstra 算法，斐波纳契堆用作优先队列时，算法时间复杂度为O（V*lgV + E）。
           //看到了吧，与Prim算法采用斐波那契堆实现时，的算法时间复杂度是一样的。

      所以我们，说，BFS、Prime、Dijkstra 算法是有相似之处的，单从各算法的时间复杂度比较看，就可窥之一二。

A*搜寻算法的思想
      ok，既然，A*搜寻算法作为是一种好的、高效的寻路算法，咱们就来想办法实现它吧。
      实现一个算法，首先得明确它的算法思想，以及算法的步骤与流程，从我之前的一篇文章中，可以了解到：
      A*算法，作为启发式算法中很重要的一种，被广泛应用在最优路径求解和一些策略设计的问题中。
而A*算法最为核心的部分，就在于它的一个估值函数的设计上：

        f(n)=g(n)+h(n)

      其中f(n)是每个可能试探点的估值，它有两部分组成：
一部分，为g(n)，它表示从起始搜索点到当前点的代价（通常用某结点在搜索树中的深度来表示）。
另一部分，即h(n)，它表示启发式搜索中最为重要的一部分，即当前结点到目标结点的估值，

h(n)设计的好坏，直接影响着具有此种启发式函数的启发式算法的是否能称为A*算法。

      一种具有f(n)=g(n)+h(n)策略的启发式算法能成为A*算法的充分条件是：

 1、搜索树上存在着从起始点到终了点的最优路径。
 2、问题域是有限的。
 3、所有结点的子结点的搜索代价值>0。
 4、h(n)=

      当此四个条件都满足时，一个具有f(n)=g(n)+h(n)策略的启发式算法能成为A*算法，并一定能找到最优解。
      对于一个搜索问题，显然，条件1,2,3都是很容易满足的，而条件4： h(n)<=h*(n)是需要精心设计的，由于h*(n)显然是无法知道的，所以，一个满足条件4的启发策略h(n)就来的难能可贵了。

      不过，对于图的最优路径搜索和八数码问题，有些相关策略h(n)不仅很好理解，而且已经在理论上证明是满足条件4的，从而为这个算法的推广起到了决定性的作用。

A*搜寻算法的应用
      ok，咱们就来应用A*搜寻算法实现八数码问题，下面，就是其主体代码，由于给的注释很详尽，就不再啰嗦了，有任何问题，请不吝指正：

//节点结构体
typedef struct Node
{
 int data[9];
 double f,g;
 struct Node * parent;
}Node,*Lnode;

//OPEN CLOSED 表结构体
typedef struct Stack
{
 Node * npoint;
 struct Stack * next;
}Stack,* Lstack;

//选取OPEN表上f值最小的节点，返回该节点地址
Node * Minf(Lstack * Open)
{
 Lstack temp = (*Open)->next,min = (*Open)->next,minp = (*Open);
 Node * minx;
    while(temp->next != NULL)
 {
  if((temp->next ->npoint->f) < (min->npoint->f))
  {
   min = temp->next;
   minp = temp;
  }
  temp = temp->next;
 }
 minx = min->npoint;
 temp = minp->next;
 minp->next = minp->next->next;
 free(temp);
 return minx;
}

//判断是否可解
int Canslove(Node * suc, Node * goal)
{
 int a = 0,b = 0,i,j;
 for(i = 1; i< 9;i++)
  for(j = 0;j < i;j++)
  {
   if((suc->data[i] > suc->data[j]) && suc->data[j] != 0)
    a++;
   if((goal->data[i] > goal->data[j]) && goal->data[j] != 0)
    b++;
  }
  if(a%2 == b%2)
   return 1;
  else 
   return 0;
}

//判断节点是否相等 ，1相等，0不相等
int Equal(Node * suc,Node * goal)
{
 for(int i = 0; i < 9; i ++ )
  if(suc->data[i] != goal->data[i])return 0;
  return 1;
}

//判断节点是否属于OPEN表 或 CLOSED表，是则返回节点地址，否则返回空地址
Node * Belong(Node * suc,Lstack * list)
{
 Lstack temp = (*list) -> next ;
 if(temp == NULL)return NULL;
 while(temp != NULL)
 {
  if(Equal(suc,temp->npoint))return temp -> npoint;
  temp = temp->next;
 }
 return NULL;
}

//把节点放入OPEN 或CLOSED 表中
void Putinto(Node * suc,Lstack * list)
{
    Stack * temp;
 temp =(Stack *) malloc(sizeof(Stack));
 temp->npoint = suc;
 temp->next = (*list)->next;
 (*list)->next = temp;
}

///////////////计算f值部分-开始//////////////////////////////
double Fvalue(Node suc, Node goal, float speed)
{//计算f值
 double Distance(Node,Node,int);
 double h = 0;
 for(int i = 1; i <= 8; i++)
  h = h + Distance(suc, goal, i);
 return h*speed + suc.g; //f = h + g（speed值增加时搜索过程以找到目标为优先因此可能不会返

回最优解）                                       
}
double Distance(Node suc, Node goal, int i)
{//计算方格的错位距离
 int k,h1,h2;
 for(k = 0; k < 9; k++)
 {
  if(suc.data[k] == i)h1 = k;
  if(goal.data[k] == i)h2 = k;
 }
 return double(fabs(h1/3 - h2/3) + fabs(h1%3 - h2%3));
}
///////////////计算f值部分-结束//////////////////////////////

 

///////////////////////扩展后继节点部分的函数-开始/////////////////
int BelongProgram(Lnode * suc ,Lstack * Open ,Lstack * Closed ,Node goal ,float speed)
{//判断子节点是否属于OPEN或CLOSED表 并作出相应的处理
 Node * temp = NULL;
 int flag = 0;
 if((Belong(*suc,Open) != NULL) || (Belong(*suc,Closed) != NULL))
 {
  if(Belong(*suc,Open) != NULL) temp = Belong(*suc,Open);
  else temp = Belong(*suc,Closed);
  if(((*suc)->g) < (temp->g))
  {
   temp->parent = (*suc)->parent;
   temp->g = (*suc)->g;
   temp->f = (*suc)->f;
   flag = 1;
  }
 }
 else
 {
  Putinto(* suc, Open);
  (*suc)->f = Fvalue(**suc, goal, speed);
 }
 return flag; 
}

void Spread(Lnode * suc, Lstack * Open, Lstack * Closed, Node goal, float speed)
{//扩展后继节点总函数
 int i;
 Node * child;
 for(i = 0; i < 4; i++)
 {
  if(Canspread(**suc, i+1))                   //判断某个方向上的子节点可否扩展
  {
   child = (Node *) malloc(sizeof(Node));  //扩展子节点
   child->g = (*suc)->g +1;                //算子节点的g值
   child->parent = (*suc);                 //子节点父指针指向父节点
   Spreadchild(child, i);                  //向该方向移动空格生成子节点
   if(BelongProgram(&child, Open, Closed, goal, speed)) // 判断子节点是否属

于OPEN或CLOSED表 并作出相应的处理
    free(child);
  }
 }
}
///////////////////////扩展后继节点部分的函数-结束//////////////////////////////////

Node * Process(Lnode * org, Lnode * goal, Lstack * Open, Lstack * Closed, float speed)
{//总执行函数
 while(1)
 {
  if((*Open)->next == NULL)return NULL;  //判断OPEN表是否为空，为空则失败退出
  Node * minf = Minf(Open);              //从OPEN表中取出f值最小的节点
  Putinto(minf, Closed);                 //将节点放入CLOSED表中
  if(Equal(minf, *goal))return minf;     //如果当前节点是目标节点，则成功退出
        Spread(&minf, Open, Closed, **goal, speed);   //当前节点不是目标节点时扩展当前节点的后继

节点
 }
}

int Shownum(Node * result)
{//递归显示从初始状态到达目标状态的移动方法
 if(result == NULL)return 0;
 else
 {
  int n = Shownum(result->parent);
  for(int i = 0; i < 3; i++)
  {
   printf("/n");
   for(int j = 0; j < 3; j++)
   {
    if(result->data[i*3+j] != 0)
     printf(" %d ",result->data[i*3+j]);
    else printf("   ");
   }
  }
  printf("/n");
  return n+1;
 }
}

完。July、二零一一年三月十日。