算法笔记——动态规划法

动态规划法常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，在重复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别有用。
动态规划法的本质其实就是试图仅仅解决每个子问题一次，具有天然剪枝的功能，从而减少计算量：一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。即每个问题只管好他的子问题呈现的结果，而至于它是怎么来的则全然不管。重点是查表，表的设计决定着算法的好坏。
最经典的爬楼梯问题，每次只能爬一层或两层，问爬到第n层有多少个不同的方案？
你会发现用函数递归，或者回溯法的代码提交都会超时（在正式的算法考试中不会告诉你超时的），这样你只能得到一部分分数，下面介绍动态规划法是如何降低复杂度的
爬楼梯：
int n=reader.nextInt();
int[] test=new int[n];
test[0]=1;
test[1]=2;
for(int i=2;i test[i]=test[i-1]+test[i-2];
}
System.out.println(test[n-1]);

在求解test[i]时，等同于求test[i-1]和test[i-2]，再求test[i+1]时可由刚刚存储在数组中的值直接求出，
我们不用关心之前存储的值是怎样来的，也不用再计算一遍，这样可大大节省时间。
而在递归法中，在求解test（i）时，等同于求test(i-1)和test(i-2),由于我们没有记录它们的值，在计算
test(i+1)时，依然需要再算一遍test(i)和test(i-1)。
所以说动态规划法是用空间换时间，在多数时候，这种交换是比较值得的。

下面是一道质量比较好的算法题：
试问正整数n最少有几个完全平方数构成？

最坏的情况，比如3，只能由3个1组成，但是4，可以由4组成。
对于要计算的dp[i]，可能最后加的完全平方数是1、4、9……,
那么分别是在dp[i-1]+1、dp[i-4]+1等中找最小值，这样就可以计算出i最少由几个完全平方数组成，
为之后的计算也提供了一种选择，即某个数k:dp[k]=dp[i]+1（k-i是完全平方数）,即k由两部分组成，一是k-i，二是i，k-i是一个平方数，i是dp[i]个平方数。

明天会继续写几道动态规划法的题。