狼追兔子问题的解答

这道题的数论解法

这道题在许多教科书上都有，一般是用循环线性表来模拟狼的行动，找到安全的洞。但是，对于n很大的情况，一来线性表要占用很大的空间，二来循环搜索要花费很多时间，因此这种算法效率很低。下面我们利用数论知识设计一种高效算法。
不妨让兔子躲在1号洞，因为如果狼能从0号洞到1号洞，则它一定能够从1号洞到2号,3号,..n-1号洞，兔子无论躲在哪里都难逃厄运。换而言之，若有安全的洞，1号洞必然是其中之一。
再来看狼的运动。狼的第i次运动后的洞址应该是(m*i) mod n，若(m*i) mod n=1，即狼第i次运动后到达1号洞，则可以证明gcd(m,n)=1，其中gcd(m,n)表示m和n的最大公约数。因为若gcd(m,n)=k，设m'*k=m，n'*k=n，则(m'*k*i)mod(n'*k)=1，于是存在正整数t，使得m'*k*i=t*n'*k+1，两边同除以k得到：m'*i=t*n'+1/k。因为m'*i和t*n'同为正整数，所以1/k为整数，因此k只能为1。以上证明过程可逆，所以若gcd(m,n)=1，则必存在i使得(m*i)mod n=1。因而兔子能够幸免的充要条件为gcd(m,n)>1，在此条件下，它应该选择除了i*gcd(m,n)，i=0,1,..,(n/gcd(m,n)-1)，的洞躲藏。
至于求m,n的最大公约数gcd(m,n)，用众所周知的辗转相除法即可。