高等数学学习笔记 DAY5
数列的极限
数列极限的定义
极限的概念是在探求实际问题的精确解答中诞生的(如割圆法).
以割圆法为例,设有一圆,首先做其内正六边形,把它的面积记为 A 1 A_1 A1;再作其内接正十二边形,其z面积记为 A 2 A_2 A2;再作其内接正二十四边形,其面积记为 A 3 A_3 A3;如此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正 6 × 2 n − 1 6\times 2^{n-1} 6×2n−1 边形的面积记为 A n ( n ∈ N + ) A_n (n\in\mathbb{N}_+) An(n∈N+),这样就得到一系列正多边形的面积 A 1 , A 2 , A 3 , ⋯ , A n , ⋯ , A_1,A_2,A_3,\cdots,A_n,\cdots, A1,A2,A3,⋯,An,⋯,它们构成一列有次序的数.当 n n n 越大,正多边形和圆的差别就越小,从而以 A n A_n An 作为圆面积的近似值也越精确.但无论 n n n 取如何大,只要 n n n 确定了, A n A_n An 终究只是多边形的面积,而还不是圆的面积.因此,设想 n n n 无限增大(记为 n → ∞ n\to \infty n→∞,读作 n n n 趋近于无穷大),即内接正多边形的边数无限增加,同时 A n A_n An 也无限接近某个确定的数值,这个确定的数值就理解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数(所谓序列) A 1 , A − 2 , A − 3 , ⋯ , A n , ⋯ A_1,A-2,A-3,\cdots,A_n,\cdots A1,A−2,A−3,⋯,An,⋯当 n → ∞ n\to \infty n→∞ 时的极限.在圆面积这个问题中我们看到,正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积.
在解决实际问题中逐渐形成这种极限方法,已成为高等数学中的一种基本方法,因此有必要作进一步的阐明.
先说明数列的概念.如果如果按照某一法则,对每个 n ∈ N + n\in \mathbb{N}_+ n∈N+,对应着一个确定的实数 x n x_n xn,这些实数 x n x_n xn 按照下标 n n n 从小到大排列得到的一个序列 x 1 , x 2 , x 3 , ⋯ , x n , ⋯ x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,\cdots x1,x2,x3,⋯,xn,⋯就叫做数列,简记数列 { x n } \{x_n\} {xn}.
数列中的每个数叫做叫做数列的项,第 n n n 项 x n x_n xn 叫做数列的一般项(或通项).
对于我们要讨论的问题来说,重要的是:当 n n n 无限增大时,对应的 x n = f ( x ) x_n=f(x) xn=f(x) 是否能无限接近于某个确定的数值?如果能够的话,这个数值等于多少?
(作者是在是懒,就直接用书中的例题了)
我们对数列 2 , 1 2 , 4 3 , ⋯ , n + ( − 1 ) n − 1 n , ⋯ 2,\frac{1}{2},\frac{4}{3},\cdots,\frac{n+(-1)^{n-1}}{n},\cdots 2,21,34,⋯,nn+(−1)n−1,⋯进行分析.在这个数列中 x n = n + ( − 1 ) n − 1 n = 1 + 1 n ( − 1 ) n − 1 . x_n=\frac{n+(-1)^{n-1}}{n}=1+\frac{1}{n}(-1)^{n-1}. xn=nn+(−1)n−1=1+n1(−1)n−1.从绝对值的角度考虑, ∣ a − b ∣ |a-b| ∣a−b∣ 越小,说明 a a a 与 b b b 越接近 ∣ x n − 1 ∣ = ∣ 1 n ( − 1 ) n − 1 ∣ , |x_n-1|=|\frac{1}{n}(-1)^{n-1}|, ∣xn−1∣=∣n1(−1)n−1∣,可以发现当 n n n 越来越大时, 1 n \frac{1}{n} n1 越来越小,从而 x n x_n xn 就越来越接近于 1 1 1,因为只要 n n n 足够大, ∣ x n − 1 ∣ |x_n-1| ∣xn−1∣ 可以小于任意给定的正数,所以说当 n n n 无限增大时, x n x_n xn 无限接近于 1 1 1.例如,给定 1 a \frac{1}{a} a1( a ∈ N + a\in \mathbb{N}_+ a∈N+),如果想要 ∣ x n − 1 ∣ < 1 a |x_n-1|<\frac{1}{a} ∣xn−1∣<a1,只要 n > a n>a n>a,即从第 a + 1 a+1 a+1 项开始,都能使不等式成立.一般地,不论给定的正数 ε \varepsilon ε 多么小,总存在一个正整数 N N N,使得当 n > N n>N n>N 时,不等式 ∣ x n − 1 ∣ < ε |x_n-1|<\varepsilon ∣xn−1∣<ε都成立.这就是数列 x n = n + − 1 n − 1 n x_n=\frac{n+{-1}^{n-1}}{n} xn=nn+−1n−1( n = 1 , 2 , ⋯ n=1,2,\cdots n=1,2,⋯)当 n → ∞ n\to \infty n→∞ 时无限接近于 1 1 1 这件事的实质.这样的一个数 1 1 1,叫做数列 x n = n + − 1 n − 1 n x_n=\frac{n+{-1}^{n-1}}{n} xn=nn+−1n−1( n = 1 , 2 , ⋯ n=1,2,\cdots n=1,2,⋯)当 x → ∞ x\to \infty x→∞ 时的极限.
一般地,有乳腺数列的极限的定义:
设 { x n } \{x_n\} {xn} 为一个数列,如果存在常数 a a a 对于任意给定的正数 ε \varepsilon ε(不论它多么小),总存在正整数 N N N,使得 n > N n>N n>N 时,不等式 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<\varepsilon ∣xn−a∣<ε都成立,那么就称常数 a a a 是数列 { x n } \{x_n\} {xn} 的极限,或者数列 x n x_n xn 收敛域 a a a,记为 lim n → ∞ x n = a , \lim_{n\to\infty}x_n=a, n→∞limxn=a,或 x n → a ( n → ∞ ) . x_n\to a(n\to \infty). xn→a(n→∞).
如果不存在这样的常数 a a a,就说明 { x n } \{x_n\} {xn} 没有极限,或者说数列 { x n } \{x_n\} {xn} 是发散的,习惯上也说 lim n → ∞ \lim_{n\to \infty} limn→∞ 不存在.
上面定义中的正数 ε \varepsilon ε 可以任意给定是很重要的,因为是有是有这样,不等式 ∣ x n − a ∣ < ε |x_n-a|<\varepsilon ∣xn−a∣<ε 才能表达出 x n x_n xn 与 a a a 无限接近的意思.此外还应注意到:定义中的正整数 N N N 是与给定的正数 ε \varepsilon ε 有关的,它随 ε \varepsilon ε 的给定而选定.
关于"数列 { x n } \{x_n\} {xn} 的极限为 a a a"的几何解释这里不展开,有兴趣可以看看这里.
为了表达方便,引入记号" ∀ \forall ∀“表示"对于任意给定的"或"对于每一个”,记号" ∃ \exists ∃“表示"存在”.相关用法和含义可以看看这里和这里.数列极限 lim n → ∞ = a ⇔ ∀ ε > 0 \lim_{n\to \infty}=a\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 limn→∞=a⇔∀ε>0, ∃ \exists ∃ 正整数 N N N,当 n > N n>N n>N 时,有 ∣ x n − a ∣ < ε . |x_n-a|<\varepsilon. ∣xn−a∣<ε.
数列极限的定义并未直接提供如何去求数列的极限的方法,以后要将极限的求法.