【小蒟蒻的算法讲解】最小生成树算法——kruskal

算法描述

最小生成树算法，顾名思义就是给你一些边，让你把这些边连成一棵树，使这棵树的边权和最小。

这么看来，这个算法其实就是贪心，那怎么贪呢？下面就来介绍一下我们的kruskal算法。当然，除了kruskal以外还有Prim也是最小生成树算法，不过个人认为还是kruskal更加方便一些，所以我还是更倾向于使用kruskal。

Kruskal

这个算法的思路十分简洁易懂，就是在一堆边中选出其中最小且不形成环的$n-1$条边连成一棵树，这里的$n$是总节点数。

相信第一步大家都知道怎么做，就是把边按权值从小到大排序，每次依次选边，但是还是走一下流程，放一下code吧。

//L.E.M.T专用水印
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);//n表示节点数，m表示边数。 
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].len);//x和y分别表示边连向的两个端点，len则是边权 
	}
	sort(a+1,a+1+m,cmp);//第一步：将所有边排序 

好了，这就是简单的第一步。

接下来就是这个算法的关键了——如何判断是否成环。

我们可以用并查集解决这个问题。

试想一下，如果两个点在同一个集合里，那么就证明两点可以相同，那么这两个点之间就不能再连边了是吧？所以我们用并查集判断一下左端点和右端点是否在同一个集合中就好，如果不在，这条边就可以选择。

放code

//L.E.M.T专用水印
int getfa(int x)//并查集，不会的可以去学一下，这东西特简单 
{
	if (fa[x]==x)
	{
		return x;
	}
	fa[x]=getfa(fa[x]);//记得状态压缩，不然数据大的题会炸 
	return fa[x];
}

以上为并查集部分

//L.E.M.T专用水印
	for (int i=0;i<=n;i++)
	{
		fa[i]=i;//把每个点的父亲赋为自己，方便后面并查集 
	}
	int ans=0;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int xx=getfa(a[i].x);//左端点的父亲 
		int yy=getfa(a[i].y);//右端点的父亲 
		if (xx!=yy)//如果不在同一个集合里，那么可以选 
		{
			fa[yy]=xx;
			ans+=a[i].len;//答案增加 
		}
	}

好了，这就是这个简单易懂的算法。

下面我们可以试着分析一下时间复杂度。

时间复杂度

前面的排序是$O(m$ $log$ $m)$，而后面并查集是$O(m$ $log$ $n)$。

那么加起来便是$O(m$ $log$ $m+m$ $log$ $n)$。

跑个$10^5$级别的数据还是轻轻松松的，跑个$10^6$级别的数据卡卡常应该也能过。

好了，这就讲完了这个简单的算法了！