梯度与Roberts、Prewitt、Sobel、Lapacian算子

一、学习心得：
学习图像处理的过程中，刚开始遇到图像梯度和一些算子的概念，这两者到底是什么关系，又有什么不同，一直困扰着我。后来在看到图像分割这一模块后才恍然大悟，其实图像的梯度可以用一阶导数和二阶偏导数来求解。但是图像以矩阵的形式存储的，不能像数学理论中对直线或者曲线求导一样，对一幅图像的求导相当于对一个平面、曲面求导。对图像的操作，我们采用模板对原图像进行卷积运算，从而达到我们想要的效果。而获取一幅图像的梯度就转化为：模板（Roberts、Prewitt、Sobel、Lapacian算子）对原图像进行卷积，不过这里的模板并不是随便设计的，而是根据数学中求导理论推导出来的。下面就逐一分析各梯度算子的推导过程。
二、算子推导过程
1、知识引入：
在一维连续数集上有函数f(x),我们可以通过求导获得该函数在任一点的斜率，根据导数的定义有：

在二维连续数集上有函数f(x,y),我们也可以通过求导获得该函数在x和y分量的偏导数，根据定义有：

2、梯度和Roberts算子：
对于图像来说，是一个二维的离散型数集，通过推广二维连续型求函数偏导的方法，来求得图像的偏导数，即在(x,y)处的最大变化率，也就是这里的梯度：

梯度是一个矢量，则(x,y)处的梯度表示为：
其大小为：
因为平方和平方根需要大量的计算开销，所以使用绝对值来近似梯度幅值：

方向与α(x,y)正交：
其对应的模板为：

上面是图像的垂直和水平梯度，但我们有时候也需要对角线方向的梯度，定义如下：

对应模板为：

     上述模板就是Roberts交叉梯度算子。

2*2大小的模板在概念上很简单，但是他们对于用关于中心点对称的模板来计算边缘方向不是很有用，其最小模板大小为3*3。3*3模板考虑了中心点对段数据的性质，并携带有关于边缘方向的更多信息。

3、Prewitt和Sobel算子：
在3*3模板中：

我如下定义水平、垂直和两对角线方向的梯度：

该定义下的算子称之为Prewitt算子：

Sobel算子是在Prewitt算子的基础上改进的，在中心系数上使用一个权值2，相比较Prewitt算子，Sobel模板能够较好的抑制（平滑）噪声。
计算公式为：
Sobel算子：

上述所有算子都是通过求一阶导数来计算梯度的，用于线的检测，在图像处理中，通常用于边缘检测。在图像处理过程中，除了检测线，有时候也需要检测特殊点，这就需要用二阶导数进行检测。

4、Lapacian算子：
一阶导数：

二阶导数：

我们感兴趣的是关于点x的二阶导数，故将上式中的变量减1后，得到：

在图像处理中通过拉普拉斯模板求二阶导数，其定义如下：

对应模板为：

模板中心位置的数字是-8而不是-4，是因为要使这些系数之和为0，当遇到恒定湖对区域时，模板响应应将0。

在用lapacian算子图像进行卷积运算时，当响应的绝对值超过指定阈值时，那么该点就是被检测出来的孤立点，具体输出如下：