Python——树、二叉树的基本概念与性质

树

• 非线性结构 每个元素可以有多个前驱和后继
• 树是n(n>=0)个元素的集合
  
  • n = 0时 称为空树
  • 树只有一个特殊的没有前驱的元素 称为树的根Root
  • 树中除了根节点外 其余元素只能有一个前驱 可以有零个或多个后继
• 递归定义
  
  • 树T是n(n>=0)个元素的集合。n=0时 称为空树
  • 有且只有一个特殊元素根 剩余元素都可以被划分为m个互不相交的集合T1、T2、T3……、Tm 而每一个集合都是树，称为 T的子树Subtree
  • 子树也有自己的根
    .

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树的概念

• 结点:树中的数据元素,
• 结点的度degree :结点拥有的子树的数目称为度,记作d(v)。
• 叶子结点:结点的度为0 ,称为叶子结点leaf,终端结点、末端结点
• 分支结点:结点的度不为0,称为非终端结点或分支结点)
• 分支:结点之间的关系,
• 内部结点:除根结点外的分支结点,当然也不包括叶子结点
• 树的度是树内各结点的度的最大值。D结点度最大为3 ,树的度数就是3
• 孩子(儿子Child )结点:结点的子树的根结点成为该结点的孩子,
• 双亲(父Parent )结点:一个结点是它各子树的根结点的双亲
• 兄弟(Sibling )结点:具有相同双亲结点的结点
• 祖先结点:从根结点到该结点所经分支上所有的结点。A,B, D都是G的祖先结点,
• 子孙结点:结点的所有子树上的结点都称为该结点的子孙。B的子孙是D, G、H,I
• 结点的层次( Level ) :根节点为第一层,根的孩子为第二层,以此类推,记作L(v)
• 树的深度(高度Depth ) :树的层次的最大值。上图的树深度为4

• 堂兄弟:双亲在同一层的结点,

• 有序树:结点的子树是有顺序的(兄弟有大小,有先后次序)不能交换。

• 无序树:结点的子树是有无序的,可以交换。

• 路径:树中的k个结点nl,n2…nk,满足ni是n(i+1)的双亲,成为n1到nk的一条路径。就是一条线串下来的,前一个都是后一个的父(前驱)结点。

• 路径长度=路径上结点数-1,也是分支数

• 森林: m(m20)棵不相交的树的集合

  • 对于结点而言,其子树的集合就是森林。A结点的2棵子树的集合就是森林

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树的特点

• 唯一的根
• 子树不相交,
• 除了根以外,每个元素只能有一个前驱,可以有零个或多个后继
• 根结点没有双亲结点(前驱),叶子结点没有孩子结点(后继)
• vi是vj的双亲,则L(vi) = L(vi)-1 ,也就是说双亲比孩子结点的层次小1

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二叉树

• 每个结点最多2棵子树,
  
  • 二叉树不存在度数大于2的结点
• 它是有序树,左子树、右子树是顺序的,不能交换次序

• 即使某个结点只有一棵子树,也要确定它是左子树还是右子树

• 二叉树的五种基本形态,

  • 空二叉树
    
    • 只有一个根结点
    • 根结点只有左子树
    • 根结点只有右子树
    • 根结点有左子树和右子树

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满二叉树

• 一棵二叉树的所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子结点只存在在最下面一层。
• 同样深度二叉树中,满二叉树结点最多。
• k为深度(1<==k<=n ) ,则结点总数为2^k-1

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完全二叉树

• 若二叉树的深度为k,二叉树的层数从1到k-1层的结点数都达到了最大个数,在第k层的所有结点都集中在最左边,这就是完全二叉树,
• 完全二叉树由满二叉树引出
• 满二叉树一定是完全二叉树,但完全二叉树不是满二叉树,
• k为深度( 1<=k<=n) ,则结点总数最大值为2^k-1 ,当达到最大值的时候就是满二叉树

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二叉树的性质

性质1

• 在二叉树的第层上至多有2^(i-1)个结点(i21)

性质2

• 深度为k的二叉树,至多有2^k-1个节点(k21)
• 一层2-1=1
• 二层4-1=1+2-3

• 三层8-1=1+2+4-7

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性质3

• 对任何一棵二叉树T,如果其终端节点数为n0 ,度数为2的结点为n2 ,则有n0=n2+1
• 换句话说,就是叶子结点数-1就等于度数为2的结点数。
• 证明:
• 总结点数为n=n0+n1+n2 , n1为度数为1的结点总数。
• 一棵树的分支数为n-1 ,因为除了根结点外,其余结点都有一个分支,即n0+n1+n2-1.
• 分支数还等于n0*0+n1*1+n2*2 , n2是2分支结点所以乘以2,2*n2+n1.
• 可得2*n2+n1=n0+n1+n2-1 => n2-n0-1

其他性质

• 高度为k的二叉树,至少有k个结点。
• 含有n (n21)的结点的二叉树高度至多为n,和上句一个意思口含有n (n21)的结点的二叉树的高度至多为n,最小为math.ceil(log2 (n+1)) ,不小于对数值的最小整数,向上取整。
• 假设高度为h , 2^h-1=n=> h= log2 (n+1) ,层次数是取整。
• 如果是8个节点, 3.1699就要向上取整为4 ,为4层,

性质4

• 具有n个结点的完全二叉树的深度为int(log2n)+1或者math.ceil(log2(n+1))

性质5

• 如果有一棵n个结点的完全二叉树(深度为性质4 ) ,结点按照层序编号,如右图
• 如果i-1 ,则结点是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲是int(i/2) ,向下取整。就是子节点的编号整除2得到的就是父结,点的编号。父结点如果是i ,那么左孩子结点就是2i,右孩子结点就是21+1.
• 如果2i>n ,则结点无左孩子,即结点i为叶子结点;否则其左孩子结点存在编号为2i.
• 如果2i+1>n ,则结点无右孩子,注意这里并不能说明结点没有左孩子;否则右孩子结点存在编号为2i+1。